Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm thuộc \(\left[ {0;20\pi } \right]\) của phương trình\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\). Khi đó, giá trị của \(S\) bằng :

\(2{\cos ^2}x - \sin x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2{\sin ^2}x - \sin x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {{k_1},{k_2},{k_3} \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do \(x \in \left[ {0;20\pi } \right]\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le  - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi  \le 20\pi \\0 \le \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi  \le 20\pi \\0 \le \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi  \le 20\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{4} \le {k_1} \le \dfrac{{41}}{4}\\ - \dfrac{1}{{12}} \le {k_2} \le \dfrac{{119}}{{12}}\\ - \dfrac{5}{{12}} \le {k_3} \le \dfrac{{115}}{{12}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} \in \left\{ {1;2;3;...;10} \right\}\\{k_2} \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\\{k_3} \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;20\pi } \right]\) là:

\(S = \sum\limits_{{k_1} = 1}^{10} {\left( { - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi } \right) + } \)\(\sum\limits_{{k_2} = 0}^9 {\left( {\dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi } \right)} \)\( + \sum\limits_{{k_2} = 0}^9 {\left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi } \right)} \)\( = 295\pi \) .