Phương trình lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

$\tan x = 2 \Leftrightarrow x = \arctan 2 + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có: $\tan x = \tan \dfrac{{3\pi }}{{11}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{{11}} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{3\pi }}{{11}} + k\pi  < 2\pi \\ \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{{44}} < k\pi  < \dfrac{{19\pi }}{{11}}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{44}} < k < \dfrac{{19}}{{11}}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:$\cot x = \sqrt 3  = \cot \dfrac{\pi }{6}$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\begin{array}{l}\tan 4x.\tan x =  - 1\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \dfrac{1}{{\tan x}}\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \cot x\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4x = x - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow 3x =  - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Đối chiếu điều kiện:

$\begin{array}{l} + )\,\, - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3} \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{m\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow  - 4 + 8k \ne 3 + 6m\end{array}$

Luôn đúng vì $- 4 + 8k$ là số chẵn và $3 + 6m$ là số lẻ $\left( {m,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\begin{array}{l} + )\,\, - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \\ \Leftrightarrow  - 1 + 2k \ne 3 + 6m\\ \Leftrightarrow k \ne 2 + 3m\,\,\left( {m \in Z} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $- \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 2 + 3m,\,m \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có: ${\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3 \\\tan x =  - \sqrt 3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có: $\tan x = \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\begin{array}{l} - 2017\pi  \le \dfrac{\pi }{3} + k\pi  \le 2017\pi \\ \Leftrightarrow  - 2017 \le \dfrac{1}{3} + k \le 2017\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{6052}}{3} \le k \le \dfrac{{6050}}{3}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ { - 2017; - 2016;...;2015;2016} \right\}$.

Vậy có tất cả 2017 + 2016 + 1 = 4034 nghiệm thỏa mãn.

$\tan \dfrac{x}{4} =  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{4} = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \pi  + 4k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

$x \in \left[ {0;12\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le  - \pi  + 4k\pi  \le 12\pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{13}}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc $\left[ {0;12\pi } \right]$.

Ta có: $\cot \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

$\cot \left( {x - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow x - 3 = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 4 + k\pi  \Leftrightarrow x = 3 + {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 4 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Bước 1:

=>ĐK:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\cos 3x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{4{{\cos }^3}x - 3\cos x \ne 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) \ne 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{4{{\cos }^2}x - 3 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{2.\left( {\cos 2x + 1} \right) - 3 \ne 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{2.\cos 2x - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\cos 2x \ne \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x \ne \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi (*)\\x \ne \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$

Bước 2:

$\tan x = \tan 3x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi  \Leftrightarrow 2x = k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Với k chẵn, tức là $k=2m$ thì $x = m\pi \,\,\left( {m \in Z} \right)$ (TMĐK) => Nhận.

Với k lẻ, tức là $k=2m+1$ thì $x =\dfrac{(2m+1)\pi}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {m \in Z} \right)$ (Mâu thuẫn với (*))=> Loại.

=>$x = m\pi \,\,\left( {m \in Z} \right)$.

Vai trò của m lúc này như vai trò của k nên ta có thể viết $x = k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{6} = x - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{6} =  - x + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Xét họ nghiệm $x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$, cho $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - \pi  <  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  < \pi \\ \Leftrightarrow  - 1 <  - \dfrac{1}{2} + 2k < 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{3}{4}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0$$\Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}$.

Xét họ nghiệm $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$, cho $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - \pi  < \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3} < \pi \\ \Leftrightarrow  - 1 < \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{{2k}}{3} < 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{19}}{{12}} < k < \dfrac{{17}}{{12}}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$$\Rightarrow x \in \left\{ { - \dfrac{{11\pi }}{{18}};\dfrac{\pi }{{18}};\dfrac{{13\pi }}{{18}}} \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc $\left( { - \pi ;\pi } \right)$.

Bước 1:

Ta có : $\sin x = \cos 2x$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x$

Bước 2:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

Bước 3:

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$

Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$

$- \pi  \le \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3} \le \pi$$\Leftrightarrow  - \dfrac{{7\pi }}{6} \le \dfrac{{k2\pi }}{3} \le \dfrac{{5\pi }}{6}$

$\Leftrightarrow  - \dfrac{7}{4} \le k \le \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 1\\k = 0\\k = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{{2\pi }}{3} =  - \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{6}\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{5\pi }}{6}\end{array} \right.$

Xét $x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Rightarrow  - \pi  \le  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi$$\Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{2} \le k2\pi  \le \dfrac{{3\pi }}{2}$

$\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}$

=> $x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}} \right\}$

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ta có $\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Nếu $x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi$ thì $x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} \le k \le \dfrac{{25}}{{24}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{23\pi }}{{12}}$.

 Nếu $x =  - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi$ thì $x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le  - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{7}{{24}} \le k \le \dfrac{{31}}{{24}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{17\pi }}{{12}}$.

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn đề bài.

Bước 1:

Ta có : $2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - \dfrac{1}{2}$.

Bước 2:

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}$

Bước 3:

$\Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,,k \in \mathbb{Z}$

Bước 4:

Vậy nghiệm của phương trình là $x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Bước 1:

ĐK: $\dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \dfrac{x}{2} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Do hàm số $y = \tan X$ đồng biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên khi $X=\dfrac{x}{2}$ ta có:

$\dfrac{\pi }{4} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow \tan \dfrac{\pi }{4} < \tan \dfrac{x}{2} < \tan \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 1 < \tan \dfrac{x}{2} <  + \infty$.

Đồ thị của hàm số: Khi x tăng dần đến $\dfrac{\pi }{2}$ thì hàm số cũng tăng dần đến $+ \infty$.

Như thế ta có $\tan \dfrac{x}{2}>1$.

Bước 2:

Suy ra phương trình $\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{m}{{1 - 2m}}\,\,\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi

$\dfrac{m}{{1 - 2m}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{m}{{1 - 2m}} - 1 > 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{m - 1 + 2m}}{{1 - 2m}} > 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{3m - 1}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < m < \dfrac{1}{2}$

Bước 1: Tìm x

Ta có $2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - \dfrac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$.

Bước 2: Tìm k từ đó tìm các điểm biểu diễn.

Với $k = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6}$ hoặc $x = \dfrac{{7\pi }}{6}$.

Điểm biểu diễn của $x =  - \dfrac{\pi }{6}$ là $F$, điểm biểu diễn $x = \dfrac{{7\pi }}{6}$ là $E$.

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.

$\tan 2x + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \tan 2x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow 2x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.