Nghiệm của phương trình \(\tan x = \tan 3x\) là:

Bước 1:

=>ĐK:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\cos 3x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{4{{\cos }^3}x - 3\cos x \ne 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{4{{\cos }^2}x - 3 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{2.\left( {\cos 2x + 1} \right) - 3 \ne 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{2.\cos 2x - 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\cos 2x \ne \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x \ne \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi (*)\\x \ne \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\)

Bước 2:

\(\tan x = \tan 3x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi  \Leftrightarrow 2x = k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Với k chẵn, tức là \(k=2m\) thì \(x = m\pi \,\,\left( {m \in Z} \right)\) (TMĐK) => Nhận.

Với k lẻ, tức là \(k=2m+1\) thì \(x =\dfrac{(2m+1)\pi}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {m \in Z} \right)\) (Mâu thuẫn với (*))=> Loại.

=>\(x = m\pi \,\,\left( {m \in Z} \right)\).

Vai trò của m lúc này như vai trò của k nên ta có thể viết \(x = k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).