Cho phương trình \(\tan 4x.\tan x =  - 1\). Nghiệm của phương trình là:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\tan 4x.\tan x =  - 1\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \dfrac{1}{{\tan x}}\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \cot x\\ \Leftrightarrow \tan 4x =  - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4x = x - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow 3x =  - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện:

\(\begin{array}{l} + )\,\, - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3} \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{m\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow  - 4 + 8k \ne 3 + 6m\end{array}\)

Luôn đúng vì \( - 4 + 8k\) là số chẵn và \(3 + 6m\) là số lẻ \(\left( {m,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l} + )\,\, - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \\ \Leftrightarrow  - 1 + 2k \ne 3 + 6m\\ \Leftrightarrow k \ne 2 + 3m\,\,\left( {m \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \( - \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 2 + 3m,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\)