Tìm số nghiệm trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) của phương trình \(\sin x = \cos 2x\).

Bước 1:

Ta có : \(\sin x = \cos 2x\)

$\Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x$

Bước 2:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Bước 3:

Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)

Xét \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\)

\( - \pi  \le \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3} \le \pi \)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{{7\pi }}{6} \le \dfrac{{k2\pi }}{3} \le \dfrac{{5\pi }}{6}\)

\( \Leftrightarrow  - \dfrac{7}{4} \le k \le \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 1\\k = 0\\k = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{{2\pi }}{3} =  - \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{6}\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{5\pi }}{6}\end{array} \right.\)

Xét \(x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Rightarrow  - \pi  \le  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi \)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{2} \le k2\pi  \le \dfrac{{3\pi }}{2}\)

\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}\)

=> \(x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}} \right\}\)

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.