Phương trình lượng giác cơ bản

Bước 1:

$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Với \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \), cho \(k = l - 1\) ta được \(x = \dfrac{\pi }{6} + \left( {l - 1} \right)2\pi  =  - \dfrac{{11\pi }}{6} + l2\pi \).

Ta có \(\sin 2{\rm{x}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \sin 2{\rm{x}} = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\2{\rm{x}} = \pi  - \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

+) Với \(x = \dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Theo yêu cầu bài toán \(0 < x < \pi  \Rightarrow \)\(0 < \dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi  < \pi \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{13}}{{12}} \Rightarrow k = 1.\)

Vậy có một nghiệm \(x = \dfrac{{11\pi }}{{12}}\) thỏa mãn. \(\left( 1 \right)\)

+) Với \(x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Theo yêu cầu bài toán \(0 < x < \pi  \Rightarrow \)\(0 < \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi  < \pi \)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7}}{{12}} < k < \dfrac{5}{{12}} \Rightarrow k = 0\)

Vậy có một nghiệm \(x = \dfrac{{7\pi }}{{12}}\) thỏa mãn.\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bước 1:

${\cos ^2}x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2}$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $$ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

$\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}$$ \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

\(2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Với \( - \pi  < x < \pi \) thì \(\left[ \begin{array}{l} - \pi  < \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{{5\pi }}{3} < k2\pi  < \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{6} < k < \dfrac{1}{6} \Rightarrow k = 0\\ - \pi  < k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3}\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là \(\dfrac{{2\pi }}{3}\).

\(\sin 3x = \sin x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi  - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\4x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

${\sin ^2}x + \sin x = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

TH1: \(x = k\pi \) ta có:

\( - \frac{\pi }{2} < k\pi  < \frac{\pi }{2}\) \( \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0\)

\( \Rightarrow x = 0\).

TH2: \(x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) ta có:

\(\begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} <  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow 0 < k2\pi  < \pi \\ \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2}\left( {VN} \right)\end{array}\)

Vậy trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thì phương trình chỉ có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

Ta có: $\cos x + \sin x = 0 $

$\Leftrightarrow \cos x =  - \sin x$

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {VN} \right)\\x =  - x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 2x =- \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

\(\sqrt 3  + 3\tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{3} - x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\dfrac{\pi }{3} + 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - \dfrac{\pi }{6} - k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$

${\rm{pt}} \Leftrightarrow \tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right) = \cot \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{3} - x = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} - 2x + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $ (Loại).

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0\end{array} \right.$
${\rm{pt}}$\( \Leftrightarrow \tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)\( = 3\sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\)\( + \left[ {\dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}} + \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}} \right] = 3\sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\)\( + \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}\)\( = 3\sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\sin \left[ {\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 3\sqrt 3 {\rm{ }}\)

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\sin \left( {2x + \pi } \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$ = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\sin 2x}}{{\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3} + x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3} - x - \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}} $$= 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2\sin 2x}}{{\cos \left( {2x + \pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2\sin 2x}}{{ - \cos 2x + \dfrac{1}{2}}} = 3\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2.2\sin 2x}}{{ - 2\cos 2x + 2.\dfrac{1}{2}}} = 3\sqrt 3
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{4\sin 2x}}{{1 - 2\cos 2x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x\left( {1 - 2\cos 2x} \right) - 4\sin 2x.\cos x}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - 2\sin x\cos 2x - 4\sin 2x\cos x}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - 2.\dfrac{1}{2}\left( {\sin 3x - \sin x} \right) - 4.\dfrac{1}{2}\left( {\sin 3x + \sin x} \right)}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - \sin 3x + \sin x - 2\sin 3x - 2\sin x}}{{\cos x - \cos x - \cos 3x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3\sin 3x}}{{ - \cos 3x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow 3\tan 3x = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow \tan 3x = \sqrt 3 $
\( \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Kiểm tra ta thấy nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3}\) thỏa mãn các điều kiện của phương trình đầu.
Do đó phương trình \(\tan 3x = \sqrt 3 \) tương đương với phương trình ban đầu (có cùng tập nghiệm).

Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm nếu \(\left| m \right| \le 1\) và vô nghiệm nếu \(\left| m \right| > 1\)

Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại

Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại

Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận

Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Ta có: \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án A: \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A đúng.

Đáp án B: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, C sai.

Đáp án D: \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên D đúng.

Bước 1:

Ta có: \(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\)

Bước 2:

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Bước 3:

+) Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$

Ta có $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2} $

\(\begin{array}{l} - \dfrac{{2\pi }}{3} \le k2\pi  \le \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{{2\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Thay vào x ta được: \(x = \dfrac{\pi }{6}\)

+) Xét \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)

\(\begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\pi }}{3} \le k2\pi  \le  - \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le  - \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{3} \le k \le  - \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\)

Ta có:

\(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Mà \(\pi  \le x \le 5\pi  \Rightarrow \pi  \le \dfrac{\pi }{4} + k2\pi  \le 5\pi  \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} \le k2\pi  \le \dfrac{{19\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le k \le \dfrac{{19}}{8} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn \(\left[ {\pi ;5\pi } \right]\).

Bước 1:

\(\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x = 0\)

Bước 2:

\( \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)