Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\). Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số\(f\left( x \right)\)?
Ta có \({\rm{d}}y = f'\left( x \right){\rm{d}}x = 2\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x\).
Hàm số \(y{\rm{ }} = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp 5 bằng:
Ta có \(y = x + \dfrac{1}{{x + 1}}\) \( \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) .
\( \Rightarrow y'' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) \( \Rightarrow {y^{\left( 3 \right)}} = \dfrac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\) \( \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{24}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\) \( \Rightarrow {y^{(5)}} = - \dfrac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 5} \right)^5}\). Có đạo hàm cấp 3 bằng:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5{\left( {2x + 5} \right)^4}\left( {2x + 5} \right)' = 10{\left( {2x + 5} \right)^4}\\f''\left( x \right) = 40{\left( {2x + 5} \right)^3}\left( {2x + 5} \right)' = 80{\left( {2x + 5} \right)^3}\\f'''\left( x \right) = 240{\left( {2x + 5} \right)^2}\left( {2x + 5} \right)' = 480{\left( {2x + 5} \right)^2}\end{array}\)
Hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} + 1} \) có đạo hàm cấp hai bằng:
\(y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 1 + {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(y'' = \dfrac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{4x\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{4{x^3} + 4x - 2{x^3} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Cho hàm số $y = {\cos ^2}x$. Tính giá trị của $y'''\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right).$
Ta có \(y' = - 2\sin x\cos x = - \sin 2x\) \( \Rightarrow y'' = - 2\cos 2x \Rightarrow y''' = 4\sin 2x\)
\( \Rightarrow y'''\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 .\)
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + x + 1$. Tính giá trị biểu thức $M = {\left( {y'} \right)^2} - 2y.y''.$
Ta có $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + x + 1\,\, \Rightarrow \,\,y' = x + 1$ và $y'' = 1$.
Khi đó $M = {\left( {y'} \right)^2} - 2y.y'' = {\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} + x + 1} \right)$ $ = {x^2} + 2x + 1 - {x^2} - 2x - 2 = - \,1$
Cho hàm số $y = \sin 2x - \cos 2x$. Giải phương trình $y'' = 0$.
Ta có \(y' = 2\cos 2x + 2\sin 2x \Rightarrow y'' = - 4\cos 2x + 4\sin 2x\)
Phương trình $y'' = 0 \Leftrightarrow - 4\cos 2x + 4\sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 0$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$
Cho hàm số $f\left( x \right) = x\sin x$. Biểu thức $P = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f'''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)$ có giá trị bằng:
Ta có \(f'\left( x \right) = \sin x + x\cos x\) \( \Rightarrow f''\left( x \right) = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - f\left( x \right)\)
$ \Rightarrow f'''\left( x \right) = - 2\sin x - f'\left( x \right)$.
Khi đó \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right)\)
\( = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + \left[ {2\cos x - f\left( x \right)} \right] + \left[ { - 2\sin x - f'\left( x \right)} \right] = 2\left( {\cos x - \sin x} \right)\)
\( \Rightarrow P = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + f'''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 2\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) = f''\left( x \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} \right).3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\)
Phương trình $f'\left( x \right) = f''\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{x + 1}} = 1\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 3.$
Cho hàm số $y = {\sin ^3}x$. Rút gọn biểu thức $M = y'' + 9y.$
Ta có $y = {\sin ^3}x\,\, \Rightarrow y' = 3{\sin ^2}x.\cos x$ và $y'' = 6\sin x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x.$
Khi đó $M = y'' + 9y = 6\sin x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x + 9{\sin ^3}x = 6\sin x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 6\sin x.$
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x - 3$ có đạo hàm là $f'\left( x \right)$ và $f''\left( x \right).$ Tính giá trị biểu thức $M = f'\left( {\sqrt 2 } \right) + \dfrac{2}{3}f''\left( {\sqrt 2 } \right).$
Ta có $\,f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1$ và $f''\left( x \right) = 6x - 4.$
Khi đó $f'\left( {\sqrt 2 } \right) = 7 - 4\sqrt 2 $ và $f''\left( {\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 - 4$.
Suy ra $M = 7 - 4\sqrt 2 + \dfrac{2}{3}\left( {6\sqrt 2 - 4} \right) = \dfrac{{13}}{3}$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} + 16\cos x - \cos 2x$. Tính giá trị của $f''\left( \pi \right).$
Ta có \(f'\left( x \right) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x\) \( \Rightarrow f''\left( x \right) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x\)
\( \Rightarrow f''\left( \pi \right) = 24\).
Cho hàm số $y = \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}}$. Giải bất phương trình $y'' > 0$.
Ta có \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}.\)
Bất phương trình $y'' > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow x < 1$.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = {t^3} + 4{t^2}\), trong đó \(t > 0\), \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $11\ {m}/{s}\;$ là:
Ta có $v\left( t \right)={s}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+8t\Rightarrow a\left( t \right)={v}'\left( t \right)=6t+8.$
Thời điểm vận tốc của vật bằng $11\ {m}/{s}$ $\Rightarrow v\left( t \right)=11\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+8t=11\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=1 \\ & t=-\dfrac{11}{3}\left( loại \right) \\ \end{align} \right..$
Với $t=1\Rightarrow a\left( 1 \right)=6.1+8=14\ {m}/{{{s}^{2}}}\;.$
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t$, trong đó $t>0$, $t$ tính bằng giây và $s\left( t \right)$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là:
Ta có $v\left( t \right)={s}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t-9\Rightarrow a\left( t \right)={v}'\left( t \right)=6t-6.$
Thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: $v\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=-1\left( loại \right) \\ & t=3 \\ \end{align} \right..$
Với $t=3\Rightarrow a\left( 3 \right)=6.3-6=12\,\,{m}/{{{s}^{2}}}\;.$
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin 5x\cos 2x.$
Ta có $y = \sin 5x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 7x + \sin 3x} \right)$.
$ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {7\cos 7x + 3\cos 3x} \right)$ $ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left( { - 49\sin 7x - 9\sin 3x} \right).$
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 4}}\) có đạo hàm là $y'$ và $y''$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
$\begin{array}{l}
y = \frac{{x - 3}}{{x + 4}} = \frac{{x + 4 - 7}}{{x + 4}}\\
= \frac{{x + 4}}{{x + 4}} - \frac{7}{{x + 4}} = 1 - \frac{7}{{x + 4}}\\
y' = \left( {1 - \frac{7}{{x + 4}}} \right)' = - \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\
y'' = \left[ {\frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right]' = \frac{{ - 7\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right]}^2}}}\\
= \frac{{ - 7.2\left( {x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}} = - \frac{{14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}\\
2{\left( {y'} \right)^2} = 2.{\left[ {\frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right]^2} = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}\\
\Rightarrow 2{\left( {y'} \right)^2}:y'' = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}:\left[ { - \frac{{14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}} \right]\\
= \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}.\frac{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}{{ - 14}} = \frac{{ - 7}}{{x + 4}} = y - 1\\
\Rightarrow 2{\left( {y'} \right)^2}:y'' = y - 1\\
\Rightarrow 2{\left( {y'} \right)^2} = \left( {y - 1} \right)y''
\end{array}$
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\) là:
Ta có: \(y' = \left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,y'' = \left( {\cos x} \right)' = - \sin x\).
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(dy = y'dx = \left( {{x^2} + 2x} \right)'dx\).
Hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 2}}\) có đạo hàm cấp hai là:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{1.\left( {x - 2} \right) - x.1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{\left( { - 2} \right)'{{\left( {x - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\end{array}\)
