\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}}\) bằng
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} 2x - 5 = - 1 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \left( {x - 2} \right) = 0;\\x - 2 > 0\forall x > 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = - \infty \)
Cho hai hàm số \(f(x),g(x)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 2\). Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [f(x) - g(x)]\) bằng
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [f(x) - g(x)]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\\ = - 5 - 2 = - 7\end{array}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x} \right)\) bằng
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x} \right) \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) = - 1 < 0\)
\(\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right)= + \infty \)
\\(\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x} \right)= + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{3 - x}}\) bằng
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} 2x - 1 = 5 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} 3 - x = 0\\3 - x < 0\,khi \,x \to {3^ + }\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{3 - x}} = - \infty \end{array}\)
Chọn đáp án đúng:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) với \(c\) là hằng số.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}} = \sqrt [3]{\dfrac{{{2^2} - 2 - 1}}{{{2^2} + 2.2}}} = \dfrac{1}{2}$
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Chọn mệnh đề sai:
Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\)
Từ định lý trên ta thấy đáp án A sai vì thiếu điều kiện \(M \ne 0\).
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}\) là:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}} = \dfrac{{\left| { - 1 - 1} \right|}}{{1 - 1 - 3}} = - \dfrac{2}{3}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\). Khi đó ta có thể hiểu rằng:
Khi \(x \to x_0^ - \) ta hiểu là \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x < {x_0}\).
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\left| x \right|}^3} + 2{x^2} + 3\left| x \right|} \right)\) là:
Ta có x<0 nên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\left| x \right|}^3} + 2{x^2} + 3\left| x \right|} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} - 3x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) = + \infty .\)
vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty ,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = - 1 < 0\)
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }}\) là:
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\\\sqrt {x - 2} > 0,\forall x > 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }} = + \infty \)
Với số nguyên dương \(k\) ta có:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với \(k\) nguyên dương.
Với số nguyên dương \(k\) ta có:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với \(k\) nguyên dương.
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)\) là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = \sqrt[3]{3} + 1 > 0\end{array} \right..\)
Chọn đáp án đúng:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \) nên A đúng, B sai.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = - \infty \) nên C và D đều sai.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}}&{với {\rm{ } }x < 1}\\{\sqrt {2x - 2} }&{với {\rm{ }}x \ge 1}\end{array}} \right..$ Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ là:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}} = + \infty $ vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\\1 - x > 0\,\,\left( {\forall x < 1} \right)\end{array} \right.\)
Cho các giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 3\) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 4\) . Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\) bằng
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} [3f(x) - 4g(x)] = 3.3 - 4.4 = - 7\)
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x + 1} \right)\) bằng
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x + 1} \right) = 2.1 + 1 = 3\)
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\) bằng
Bước 1:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
Bước 2:
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 1}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
Bước 3:
\( = \dfrac{{ - 1 + 1}}{{2.\left( {1 - 1 + 1} \right)}} = 0\)