Giới hạn của hàm số

Câu 1 Trắc nghiệm

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}}\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} 2x - 5 =  - 1 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \left( {x - 2} \right) = 0;\\x - 2 > 0\forall x > 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho hai hàm số \(f(x),g(x)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) =  - 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 2\). Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [f(x) - g(x)]\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [f(x) - g(x)]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\\ =  - 5 - 2 =  - 7\end{array}\)

Câu 3 Trắc nghiệm

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 3x} \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 3x} \right) \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}.\left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) =  - 1 < 0\)

\(\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}.\left( { - 1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right)=  + \infty \)

\\(\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 3x} \right)= + \infty \)

Câu 4 Trắc nghiệm

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{3 - x}}\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} 2x - 1 = 5 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} 3 - x = 0\\3 - x < 0\,khi \,x \to {3^ + }\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{3 - x}} =  - \infty \end{array}\)

Câu 5 Trắc nghiệm

Chọn đáp án đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)  với \(c\) là hằng số.

Câu 6 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}}$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{{x^2} + 2x}}}} = \sqrt [3]{\dfrac{{{2^2} - 2 - 1}}{{{2^2} + 2.2}}}  = \dfrac{1}{2}$

Câu 7 Trắc nghiệm

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Chọn mệnh đề sai:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\)

Từ định lý trên ta thấy đáp án A sai vì thiếu điều kiện \(M \ne 0\).

Câu 8 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}} = \dfrac{{\left| { - 1 - 1} \right|}}{{1 - 1 - 3}} =  - \dfrac{2}{3}\)

Câu 9 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\). Khi đó ta có thể hiểu rằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Khi \(x \to x_0^ - \) ta hiểu là \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x < {x_0}\).

Câu 10 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{{\left| x \right|}^3} + 2{x^2} + 3\left| x \right|} \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có x<0 nên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{{\left| x \right|}^3} + 2{x^2} + 3\left| x \right|} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} - 3x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( { - 1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty .\)

vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty ,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = - 1 < 0\)

Câu 12 Trắc nghiệm

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2}  = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2}  = 0\\\sqrt {x - 2}  > 0,\forall x > 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }} =  + \infty \)

Câu 13 Trắc nghiệm

Với số nguyên dương \(k\) ta có:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương.

Câu 14 Trắc nghiệm

Với số nguyên dương \(k\) ta có:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương.

Câu 15 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) =  + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = \sqrt[3]{3} + 1 > 0\end{array} \right..\)

Câu 16 Trắc nghiệm

Chọn đáp án đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^4} =  + \infty \) nên A đúng, B sai.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^4}} \right) =  - \infty \) nên C và D đều sai.

Câu 17 Trắc nghiệm

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}}&{với {\rm{ }  }x < 1}\\{\sqrt {2x - 2} }&{với {\rm{ }}x \ge 1}\end{array}} \right..$ Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}} =  + \infty $ vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\\1 - x > 0\,\,\left( {\forall x < 1} \right)\end{array} \right.\)

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho các giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 3\) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 4\) . Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} [3f(x) - 4g(x)] = 3.3 - 4.4 =  - 7\)

Câu 19 Trắc nghiệm

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x + 1} \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x + 1} \right) = 2.1 + 1 = 3\)

Câu 20 Trắc nghiệm

Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

Bước 2:

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{x + 1}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

Bước 3:

\( = \dfrac{{ - 1 + 1}}{{2.\left( {1 - 1 + 1} \right)}} = 0\)