Hai mặt phẳng song song

Bước 1:

Lấy $H,\,\,K$ lần lượt trên $AD,\,\,AF$ sao cho $\dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}$ và $\dfrac{{AK}}{{FA}} = \dfrac{{BN}}{{BF}}$.

Bước 2:

Vì $\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{BN}}{{BF}}$  nên $\dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{AK}}{{FA}}$

Tam giác $AFD$ có $\dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{AK}}{{FA}}$, áp dụng định lí Ta-lét đảo ta có $HK\parallel DF$.

Tương tự ta có $KN\parallel FE$

Bước 3:

Do đó $\left( {HKN} \right)\parallel \left( {DFE} \right) \Rightarrow \left( {MNKH} \right)\parallel \left( {DFEC} \right)$$\Rightarrow MN\parallel \left( {DCF} \right)$

Ta có $a \subset \left( \alpha  \right);\,\,b \subset \left( \beta  \right)$ mà $\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right).$

Do đó 2 đường thẳng a,b có thể song song hoặc chéo nhau.

Câu D sai vì hai đường thẳng phân biệt song song với cùng một mặt phẳng thì chúng song song hoặc chéo nhau.

Bước 1:

Ta có $M,\,\,N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,CD,\,\,SA$.

Nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel BC\\MP\parallel SB\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP\parallel \left( {SBC} \right)\\MP\parallel \left( {SBC} \right)\end{array} \right.$

=>I;II;IV đúng.

Ta có $MP\parallel SB$; SB cắt $\left( {SCD} \right)$ tại S nên MP không song song với $\left( {SCD} \right)$.

=> III sai.

Bước 2:

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau nên A đúng.

Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau nên B sai.

Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau nên C sai.

Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau nên D sai.

Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ thì có duy nhất một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $\left( P \right)$.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

A sai vì $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ có thể trùng nhau.

B sai vì nếu a // b thì $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ chưa chắc song song với nhau.

C không thể kết luận được vị trí của $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$.

D đúng vì dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng song song khi mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia.

Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $\left( \alpha  \right)$ đều song song với $\left( \beta  \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\\a//\left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a \subset \left( \beta  \right)\\a//\left( \beta  \right)\end{array} \right.$

A và B sai vì nếu $\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)$ và $a \subset \left( \alpha  \right),b \subset \left( \beta  \right)$ thì a // b hoặc a và b chéo nhau.

C sai vì nếu a // b và $a \subset \left( \alpha  \right),b \subset \left( \beta  \right)$ thì $\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)$ hoặc $\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = c//a//b$

D đúng.

Trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án D đúng.

Dễ dàng chứng minh được $MNOP$ là hình bình hành $\Rightarrow M,N,O,P$ đồng phẳng $\Rightarrow A,C$ sai.

Ta có : $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ $\Rightarrow MN//AD//BC$

$ON$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ $\Rightarrow ON//SB$

$\Rightarrow (MON) // (SBC)$

$\Rightarrow$ Đáp án B đúng.

Đáp án D sai vì $N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Trong $(ABCD)$ qua $I$ kẻ $MN // BD$ $\left( {M \in AB;N \in AD} \right)$

Trong $(SAB)$ qua $M$ kẻ $MP // SB$ $\left( {P \in SA} \right)$

$\Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {MNP} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD\\\left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP//SD$ 

Theo định lí Ta-let ta có: $\dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AP}}{{AS}} = \dfrac{{MP}}{{SB}} = \dfrac{{NP}}{{SD}}$

Mà tam giác $SBD$ đều nên $SB = BD = SD \Rightarrow MN = NP = MP$

Vậy $\Delta MNP$  đều.

1. Qua một điểm vẽ đường thẳng song song với hai đường thẳng cắt nhau thì đường thẳng cần vẽ phải song song với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Qua một điểm không thuộc đường thẳng vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Vậy 1. đúng.

2. Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng. 2 sai

3. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau, $M \notin a,M \notin b$

Qua M kẻ $a'//a;\,\,b'//b \Rightarrow a',b'$ là duy nhất.

$a' \cap b' = \left\{ M \right\} \Rightarrow$ mặt phẳng (P) xác định bới a’, b’ là duy nhất. Và ta có : $\left( P \right)//a,\,\,\left( P \right)//b$. Vậy 3 đúng.

4, 5. Hiển nhiên đúng.

6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì có thể song song hoặc trùng nhau, hoặc cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó. Vậy 6 sai.

Ta có $AD \cap \left( {BEF} \right) = A \Rightarrow A$ sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AF//BE\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AFD} \right)//\left( {BEC} \right) \Rightarrow$ B đúng.

$\left( {ABD} \right) \cap \left( {EFC} \right) = CD \Rightarrow C$ sai.

$EC \cap \left( {ABF} \right) = E \Rightarrow D$sai.

Do $A',B',C',D'$ không đồng thời trùng với các đầu mút nên loại đáp án C.

Gọi $a$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB, b$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD.$

$A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}A'B'//C'D'\\A'B' = C'D'\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\A'B'//C'D'\\A'B' \subset \left( {SAB} \right),\,\,C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'B'//a$

Suy ra $A’B’ // AB$  $(1)$

Tương tự ta có: $\left\{ \begin{array}{l}b = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A'D'//B'C'\\A'D' \subset \left( {SAD} \right),\,\,C'B' \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'D'//b$

Suy ra $A’D’ // AD$  $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)$ hay $\left( \alpha  \right)//\left( {ABCD} \right)$

Trong (ABCD) qua M kẻ MM’ // AB $\left( {M' \in AD} \right)$

Trong (ABEF) qua N kẻ NN’ // AB $\left( {N' \in AF} \right)$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AM'}}{{AD}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}\\\dfrac{{AN'}}{{AF}} = \dfrac{{BN}}{{BF}}\\AM = BN;AC = BF\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{AM'}}{{AD}} = \dfrac{{AN'}}{{AF}} \Rightarrow M'N'//DF$

Lại có NN’ // AB // EF $\Rightarrow \left( {MM'N'N} \right)//\left( {DEF} \right)$

Mà $MN \subset \left( {MM'N'N} \right) \Rightarrow MN//\left( {DEF} \right)$

Trong (SAB) qua M kẻ MN // AB, trong (SAC) kẻ MP // AC. Khi đó ta có (MNP) // (ABC).

$\Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( P \right)$.

Thiết diện của (P) và hình chóp là tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}}$

Ta có ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.4.4.\sin {30^0} = 4$

$\Rightarrow {S_{MNP}} = \dfrac{4}{9}.4 = \dfrac{{16}}{9}$

Gọi $H \in SD$ sao cho $HD = \dfrac{1}{2}SH$

Ta có: $\dfrac{{SM}}{{SE}} = \dfrac{{SH}}{{SD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MH//AD//NP \Rightarrow M,H,P,N$ đồng phẳng.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{{DP}}{{DC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow NP//AD;\,\,\dfrac{{DH}}{{DS}} = \dfrac{{DP}}{{DC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HP//SC\\\left\{ \begin{array}{l}NP//AD//BC\\HP//SC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MHPN} \right)//\left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {SBC} \right)\\MN \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow MN//\left( {SBC} \right)\end{array}$