Hai mặt phẳng song song

$\left\{ \begin{array}{l}MR//AB//CD\\OR//SD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MOR} \right)//\left( {SCD} \right) \Rightarrow B$ đúng.

$\left\{ \begin{array}{l}MN//AD//BC\\ON//SB\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MON} \right)//\left( {SBC} \right) \Rightarrow C$ đúng.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}MP//SB\\OP//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNOP} \right)//\left( {SBC} \right);\,\,PQ \subset \left( {MNOP} \right) \Rightarrow PQ//\left( {SBC} \right)$ $\Rightarrow D$ đúng.

Vậy A sai.

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CD, BD.$ Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{A{G_1}}}{{AM}} = \dfrac{{A{G_2}}}{{AN}} = \dfrac{{A{G_3}}}{{AP}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow {G_1}{G_2}//MN,\,\,{G_2}{G_3}//NP \Rightarrow \left( {{G_1}{G_2}{G_2}} \right)//\left( {MNP} \right)\end{array}$

Qua ${G_1}$ kẻ $B'C'//BC\,\,\left( {B' \in AB,C' \in AC} \right)$

Qua ${G_2}$ kẻ $C'D'//DC\,\,\left( {D' \in AD} \right)$

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi  $\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)$ là $\Delta B'C'D'$

Ta có: $\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{A{G_1}}}{{AM}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \Delta B'C'D'$ đồng dạng với $\Delta BCD$ theo tỉ số $\dfrac{2}{3}$.

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta B'C'D'}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}$.

Trong $(ABCD)$ qua $I$ kẻ $EF // BD$ $\left( {E \in BC;F \in CD} \right)$

Trong $(SAC)$ qua $I$ kẻ $IG // SO$ $\left( {G \in SC} \right)$

$\Rightarrow \left( {GEF} \right)$ qua $I$ và song song với $(SBD)$ $\Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {GEF} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {GEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = GE\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {GEF} \right)//\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GE//SB$

Tương tự ta chứng minh được $GF // SD.$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{IC}}{{OC}} = \dfrac{{FE}}{{BD}} = \dfrac{{GC}}{{SC}} = \dfrac{{GE}}{{SB}} = \dfrac{{GF}}{{SD}}\\BD = SB = SD\end{array} \right. \Rightarrow GE = GF = EF \Rightarrow \Delta GEF$ đều và $\dfrac{{IC}}{{OC}} = \dfrac{{EF}}{{BD}}$ $\Rightarrow EF = \dfrac{{IC}}{{OC}}.BD = \dfrac{{a - x}}{{\frac{a}{2}}}.b = \dfrac{{2b\left( {a - x} \right)}}{a}$

$\Rightarrow \Delta GEF$ đều cạnh $\dfrac{{2(a - x)}}{a}.b$ , do đó ${S_{\Delta GEF}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2(a - x)}}{a}} \right)}^2}.{b^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}$

Lấy điểm $M \in AD,$ trong (ABCD) qua M kẻ MN // AB $\left( {N \in BC} \right)$. Trong (SAD) qua M kẻ MQ // SA, trong (SBC) qua N kẻ NP // SB.

$\Rightarrow \left( {MNPQ} \right)//\left( {SAB} \right)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\end{array} \right. \Rightarrow MN//PQ//CD \Rightarrow$ MNPQ là hình thang.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {QMN} = \widehat {\left( {MN;MQ} \right)} = \widehat {\left( {AB;AS} \right)} = \widehat {SAB}\\\widehat {PNM} = \widehat {\left( {NM;NP} \right)} = \widehat {\left( {BA;BS} \right)} = \widehat {SBA}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {QMN} = \widehat {PNM}$

Do đó MNPQ là hình thang cân.

Giả sử MNPQ ngoại tiếp được đường tròn tâm I, gọi E và F lần lượt là trung điểm của PQ và MN.

Do MNPQ là hình thang cân nên $I \in EF$.

Kẻ $IH \bot MQ;\,\,IK \bot NP$.

Ta có: $IE = IF = IH = IK$, xét tam giác vuông IPE và IPK có IC chung, IE = IK $\Rightarrow \Delta IPE = \Delta IPK\,\,\left( {ch - cgv} \right) \Rightarrow EP = KP$

Chứng minh tương tự ta có: $QE = QH,\,\,NK = NF,\,\,MH = MF$

$\Rightarrow MN + PQ = MQ + NP = 2MQ\,\,\,\left( * \right)$

Đặt AM = x (0 < x < a). Theo định lí Ta-let ta có: $\dfrac{{DM}}{{DA}} = \dfrac{{MQ}}{{SA}} \Rightarrow MQ = \dfrac{{DM.SA}}{{DA}} = \dfrac{{\left( {a - x} \right).2a}}{a} = 2\left( {a - x} \right)$

Ta có : $\dfrac{{PQ}}{{CD}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{a} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow PQ = x$ .

Kẻ DR // BC, gọi $G = DR \cap MN$ , dễ thấy RB = GN = CD = a.

$\dfrac{{MG}}{{AR}} = \dfrac{{DM}}{{DA}} \Rightarrow MG = \dfrac{{AR.DM}}{{DA}} = \dfrac{{2a.\left( {a - x} \right)}}{a} = 2\left( {a - x} \right) \Rightarrow MN = MG + GN = 3a - 2x$

Thay vào (*) ta có : $3a - 2x + x = 4\left( {a - x} \right) \Leftrightarrow 3a - x = 4a - 4x \Leftrightarrow 3x = a \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}$.

$\Rightarrow MN = \dfrac{{7a}}{3},\,\,MQ = \dfrac{{4a}}{3};\,\,PQ = \dfrac{a}{3}$

Ta có : $EF = \sqrt {M{Q^2} - {{\left( {\dfrac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow r = \dfrac{1}{2}EF = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}.$