Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}}&{khi}&{x > 0}\\{mx + m + \dfrac{1}{4}}&{khi}&{x \le 0}\end{array}} \right.\), \(m\) là tham số. Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có giới hạn tại \(x = 0\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {mx + m + \dfrac{1}{4}} \right) = m + \dfrac{1}{4}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{x + 4 - 4}}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \dfrac{1}{4}\).
Để hàm số có giới hạn tại\(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow m + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}}}&{khi}&{x \ne \pm 3}\\{ - \dfrac{1}{9}}&{khi}&{x = \pm 3}\end{array}} \right.\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}}\), vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2x + 6} \right) = 12 \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3{x^2} - 27} \right) = 0$ nên hàm số không có giới hạn tại \(x = 3\). Ta loại các phương án A, B và D.
Kiểm tra lại đáp án C:
Ta tiếp tục tính giới hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \dfrac{2}{{3\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{9}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) = - \dfrac{1}{9}\) nên hàm số liên tục tại \(x = - 3\).
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) $
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right)} \right]\)
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)=+\infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right) = \sqrt 2 > 0$ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right)} \right] = + \infty \)
Vậy phương án A sai.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 2} \right) = - \infty $ nên phương án B sai.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + x} + x}}} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + 1}}} \right) = \dfrac{1}{2}$ nên đáp án C đúng.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + 2} \right) = + \infty $ nên đáp án D sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).
Ta có: \(\dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\)\( = \dfrac{{\left( {2\sqrt {1 + x} - 2} \right) + \left( {2 - \sqrt[3]{{8 - x}}} \right)}}{x}\)\( = \dfrac{{2\left( {\sqrt {1 + x} - 1} \right)}}{x} + \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\)
\( = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}\). Do vậy:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{2}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + x} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}\)
\( = 1 + \dfrac{1}{{12}}\)\( = \dfrac{{13}}{{12}}\).
Tính \(\lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {n + 7} \right)\left( {6n + 5} \right)}}} \)
Ta có: \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).
Khi đó: \(\lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {n + 7} \right)\left( {6n + 5} \right)}}} = \lim \sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12n\left( {n + 7} \right)\left( {6n + 5} \right)}}} \)\( = \lim \sqrt {\dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{12\left( {1 + \dfrac{7}{n}} \right)\left( {6 + \dfrac{5}{n}} \right)}}} \)\( = \dfrac{1}{6}\).
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 4}}{{3 - \sqrt {x + 4} }}\) có giá trị bằng:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 4}}{{3 - \sqrt {x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left[ {\left( {3x + 1} \right) - 16} \right]\left( {3 + \sqrt {x + 4} } \right)}}{{\left[ {9 - \left( {x + 4} \right)} \right]\left( {\sqrt {3x + 1} + 4} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{ - 3\left( {3 + \sqrt {x + 4} } \right)}}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} = \)\(\dfrac{{ - 18}}{8} = - \dfrac{9}{4}\).
Tìm \(L = \lim \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{1 + 2}} + ... + \dfrac{1}{{1 + 2 + ... + n}}} \right)\)
Ta có \(1 + 2 + 3 + ... + k\) là tổng của cấp số cộng có \({u_1} = 1\), \(d = 1\) nên \(1 + 2 + 3 + ... + k = \dfrac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \dfrac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{2}{k} - \dfrac{2}{{k + 1}}\), \(\forall k \in {\mathbb{N}^*}\).
\(L = \lim \left( {\dfrac{2}{1} - \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{4} + ... + \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \lim \left( {\dfrac{2}{1} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = 2\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a{x^2} - (a - 2)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}{\,\,\,khi\,\,\,}x \ne 1\\8 + {a^2}{\,\,\,khi\,\,\,}x = 1\end{array} \right.\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại \(x = 1\)?
Tập xác định: \(D = \left[ { - 3;\, + \infty } \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} \right)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {ax + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}{{x - 1}}\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {ax + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\)\( = 4\left( {a + 2} \right)\).
\(f\left( 1 \right) = 8 + {a^2}\).
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 4\left( {a + 2} \right) = 8 + {a^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 4\end{array} \right.\).
Vậy có \(2\) giá trị của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\).
Cho \(f\left( x \right)\) là một đa thức thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 1}} = 24\). Tính \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6} \right)}}\)
Bước 1: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$
Đặt \(\dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 1}} = g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 16\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 16\).
Bước 2: Tính I
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4} + 6} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 1}}.\dfrac{1}{{\sqrt {2f\left( x \right) + 4} {\rm{\;}} + 6}}\) \( = 24.\dfrac{1}{{\sqrt {2.16 + 4} + 6}} = 2\)
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}}&{{\rm{khi}}}&{x < 0}\\{m + \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 0\).
Ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) = $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1$.
$f\left( 0 \right) = m + 1$
Để hàm liên tục tại \(x = 0\) thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$\( \Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Rightarrow m = - 2\).
