Tổng hợp câu hay và khó chương 4 - Phần 2

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {mx + m + \dfrac{1}{4}} \right) = m + \dfrac{1}{4}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{x + 4 - 4}}{{x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 4}  + 2}} = \dfrac{1}{4}$.

Để hàm số có giới hạn tại$x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow m + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}}$, vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2x + 6} \right) = 12 \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3{x^2} - 27} \right) = 0$ nên hàm số không có giới hạn tại $x = 3$. Ta loại các phương án A, B và D.

Kiểm tra lại đáp án C:

Ta tiếp tục tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{2}{{3\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{9}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) =  - \dfrac{1}{9}$ nên hàm số liên tục tại $x =  - 3$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - x} \right)$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right)} \right]$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)=+\infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right) = \sqrt 2 > 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right)} \right] = + \infty$

Vậy phương án A sai.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}}  - 2} \right) =  - \infty$ nên phương  án B sai.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + x}  + x}}} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}}  + 1}}} \right) = \dfrac{1}{2}$ nên đáp án C đúng.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - x} \right)\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}}  + 2} \right) =  + \infty$ nên đáp án D sai.

Ta có: $\dfrac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$$= \dfrac{{\left( {2\sqrt {1 + x}  - 2} \right) + \left( {2 - \sqrt[3]{{8 - x}}} \right)}}{x}$$= \dfrac{{2\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right)}}{x} + \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$

$= \dfrac{2}{{\sqrt {1 + x}  + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}$. Do vậy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{2}{{\sqrt {1 + x}  + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right]$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + x}  + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}$

$= 1 + \dfrac{1}{{12}}$$= \dfrac{{13}}{{12}}$.

Ta có: ${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$.

Khi đó: $\lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {n + 7} \right)\left( {6n + 5} \right)}}}  = \lim \sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12n\left( {n + 7} \right)\left( {6n + 5} \right)}}}$$= \lim \sqrt {\dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{12\left( {1 + \dfrac{7}{n}} \right)\left( {6 + \dfrac{5}{n}} \right)}}}$$= \dfrac{1}{6}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\sqrt {3x + 1}  - 4}}{{3 - \sqrt {x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left[ {\left( {3x + 1} \right) - 16} \right]\left( {3 + \sqrt {x + 4} } \right)}}{{\left[ {9 - \left( {x + 4} \right)} \right]\left( {\sqrt {3x + 1}  + 4} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{ - 3\left( {3 + \sqrt {x + 4} } \right)}}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} =$$\dfrac{{ - 18}}{8} =  - \dfrac{9}{4}$.

Ta có $1 + 2 + 3 + ... + k$ là tổng của cấp số cộng có ${u_1} = 1$, $d = 1$ nên $1 + 2 + 3 + ... + k = \dfrac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \dfrac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}$$= \dfrac{2}{k} - \dfrac{2}{{k + 1}}$, $\forall k \in {\mathbb{N}^*}$.

$L = \lim \left( {\dfrac{2}{1} - \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{4} + ... + \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right)$$= \lim \left( {\dfrac{2}{1} - \dfrac{2}{{n + 1}}} \right)$$= 2$.

Tập xác định: $D = \left[ { - 3;\, + \infty } \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} \right)x - 2}}{{\sqrt {x + 3}  - 2}}$.

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {ax + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}}{{x - 1}}$.

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {ax + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)$$= 4\left( {a + 2} \right)$.

$f\left( 1 \right) = 8 + {a^2}$.

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow 4\left( {a + 2} \right) = 8 + {a^2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 4\end{array} \right.$.

Vậy  có $2$ giá trị của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại  $x = 1$.

Bước 1: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$

Đặt $\dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 1}} = g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 16$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 16$.

Bước 2: Tính I

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) + 4}  + 6} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 1}}.\dfrac{1}{{\sqrt {2f\left( x \right) + 4} {\rm{\;}} + 6}}$ $= 24.\dfrac{1}{{\sqrt {2.16 + 4}  + 6}} = 2$

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - x}  - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) =$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right)}} =  - 1$.

$f\left( 0 \right) = m + 1$

Để hàm liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$$\Leftrightarrow m + 1 =  - 1 \Rightarrow m =  - 2$.