Câu hỏi:
2 năm trước
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) $
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right)} \right]\)
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)=+\infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right) = \sqrt 2 > 0$ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\left( {\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} + 1} \right)} \right] = + \infty \)
Vậy phương án A sai.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 2} \right) = - \infty $ nên phương án B sai.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + x} + x}}} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + 1}}} \right) = \dfrac{1}{2}$ nên đáp án C đúng.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + 2} \right) = + \infty $ nên đáp án D sai.
Hướng dẫn giải:
Tính giới hạn các hàm số, sử dụng phương pháp tính các giới hạn đã biết (nhân liên hợp, chia cho lũy thừa bậc cao nhất,…)
