Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có đẳng thức sau: `2^2+4^2+...+(2n)^2=(2n(n+1)(2x+1))/3(1)` (Các bạn hướng dẫn cho mình cũng được, không cần giải thích ra hết đâu nha, làm thế mình khó hiểu lắm ạ, cảm ơn các bạn rất nhiều).

Đáp án:

Ta có:

Với `n = 1`, ta có:

\(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)

`=> (1)` đúng khi `n = 1` 

Giả sử đã có `(1)` đúng khi `n = k , k` \(\in\)N* , tức là giả sử đã có :

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh `(1)` đúng khi `n = k + 1` , tức là ta sẽ chứng minh 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

`=>` Từ giả thiết quy nạp ta có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)

\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)                                                          

  \(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

Từ các chứng minh trên , `=> (1)` đúng với mọi `n in N**` 

`=>` (a) đúng với mọi n in N** 

`-> đpcm`

$#RubyWaterson$

Ta chứng minh:

\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)  (1)  với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp 

Với `n = 1`, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)`=> (1)` đúng khi n = 1 

Giả sử đã có `(1)` đúng khi `n = k , k` \(\in\)N* , tức là giả sử đã có :

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)

Ta chứng minh `(1)` đúng khi `n = k + 1` , tức là ta sẽ chứng minh 

\`(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)`

`=>` Từ giả thiết quy nạp ta có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)

\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)       `                                                    (=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)

\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

Từ các chứng minh trên , `=> (1)` đúng với mọi `n in N**`