Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương `n` ta luôn có bất đẳng thức sau: `1+1/(\sqrt{2})+...+1/(\sqrt{n})<2\sqrt{n}(1).`

Với $n=1$ thì bất đẳng thức trở thành $1<2\sqrt{1}=2$ luôn đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k$ ta được:

`1+1/(\sqrt{2})+...+1/(\sqrt{n})<2\sqrt{k}`

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$ hay cần phải chứng minh:

Thật vậy

$1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt k }} + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} $

Theo giả thiết quy nạp ta được:

$1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt k }}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt k +\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$

Cần chứng minh $2\sqrt k +\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} - 2\sqrt k \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < \dfrac{{2\left( {k + 1 - k} \right)}}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < \dfrac{2}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {k + 1} + \sqrt k < 2\sqrt {k + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt k < \sqrt {k + 1} \end{array}$

Điều này là đúng với $k$ nguyên dương

Vậy theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức được chứng minh.