Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}}}&{khi}&{x \ne  \pm 3}\\{ - \dfrac{1}{9}}&{khi}&{x =  \pm 3}\end{array}} \right.\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}}\), vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2x + 6} \right) = 12 \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3{x^2} - 27} \right) = 0$ nên hàm số không có giới hạn tại \(x = 3\). Ta loại các phương án A, B và D.

Kiểm tra lại đáp án C:

Ta tiếp tục tính giới hạn

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2x + 6}}{{3{x^2} - 27}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \dfrac{2}{{3\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{9}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) =  - \dfrac{1}{9}\) nên hàm số liên tục tại \(x =  - 3\).