Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - \left( {ax + b} \right)} \right) = 0\). Tính \(a - 4b\) ta được
Ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - \left( {ax + b} \right)} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - ax} \right) - b} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{4{x^2} - 3x + 1 - {a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax}} - b} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{\left( {4 - {a^2}} \right){x^2} - 3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax}} - b} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {a^2} = 0\\a > 0\\\dfrac{{ - 3}}{{2 + a}} - b = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$.
Vậy $a - 4b = 5$.
Cho các số thực \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn \({c^2} + a = 18\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2\). Tính \(P = a + b + 5c\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {a - {c^2}} \right){x^2} + bx}}{{\sqrt {a{x^2} + bx} + cx}} = - 2\).
Điều này xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - {c^2} = 0\,\,\,\,\left( {a,\,\,c > 0} \right)\\\dfrac{b}{{\sqrt a + c}} = - 2\end{array} \right.\) . (Vì nếu \(c \le 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = + \infty \)).
Mặt khác, ta cũng có \({c^2} + a = 18\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l} a = {c^2} = 9\\b = - 2\left( {\sqrt a + c} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(a = 9\), \(b = - 12\), \(c = 3\). Vậy \(P = a + b + 5c\)\( = 12\).
Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1.\)
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} = \dfrac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).f\left( 5 \right)...f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).f\left( 6 \right)...f\left( {2n} \right)}}.\) Tính \(\lim n\sqrt {{u_n}} .\)
Xét \(g\left( n \right) = \dfrac{{f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( {2n} \right)}} \Rightarrow g\left( n \right) = \dfrac{{{{\left( {4{n^2} - 2n + 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)}^2} + 1}}\).
\(g\left( n \right) = \dfrac{{{{\left( {4{n^2} + 1} \right)}^2} - 4n\left( {4{n^2} + 1} \right) + \left( {4{n^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {4{n^2} + 1} \right)}^2} + 4n\left( {4{n^2} + 1} \right) + \left( {4{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{4{n^2} + 1 - 4n + 1}}{{4{n^2} + 1 + 4n + 1}} = \dfrac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\)
$ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{2}{{10}}.\dfrac{{10}}{{26}}.\dfrac{{26}}{{50}}....\dfrac{{{{\left( {2n - 3} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}.\dfrac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{2}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}$
\( \Rightarrow \lim n\sqrt {{u_n}} = \lim \sqrt {\dfrac{{2{n^2}}}{{4{n^2} + 4n + 2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Tính $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)$.
Ta có: $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)$$ = \lim n\left[ {\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) + \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]$
$ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) + n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]$.
Ta có: $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right)$$ = \lim \dfrac{{3n}}{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} + 2n} \right)}}$$ = \lim \dfrac{3}{{\left( {\sqrt {4 + \dfrac{3}{{{n^2}}}} + 2} \right)}} = \dfrac{3}{4}$.
Ta có: $\lim n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)$$ = \lim \dfrac{{ - {n^2}}}{{\left( {4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8{n^3} + n} \right)}^2}}}} \right)}}$
$ = \lim \dfrac{{ - 1}}{{\left( {4 + 2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}} \right)}} = - \dfrac{1}{{12}}$.
Vậy $\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{{12}}$$ = \dfrac{2}{3}$.
Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = 5\) thì giá trị của \(a\) là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} + ax + 5 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{a + \dfrac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} - 1}}} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{ - 2}} = 5\)\( \Leftrightarrow a = - 10\).
Vì vậy giá trị của \(a\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x - 10 = 0\).
Tìm giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1 - \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)\).
Ta có: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1 - \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)\)$ \Leftrightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} - {x^2} + x - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} - x + 2} }} + 1} \right)$$ \Leftrightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} - x + 2} }} + 1} \right)$$ \Leftrightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{1 - \dfrac{2}{x}}}{{1 + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }} + 1} \right)$\( \Leftrightarrow I = \dfrac{3}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} & {\rm{khi }}\left( {x > 1} \right)\\{m^2} + m + \dfrac{1}{4}{\rm{ }} & {\rm{khi }}\left( {x \le 1} \right)\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \dfrac{1}{4}\); \(f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = {m^2} + m + \dfrac{1}{4}\).
Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) thì \({m^2} + m + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 0\end{array} \right.$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}}&{{\rm{khi}}}&{x > - 2}\\0&{{\rm{khi}}}&{x = - 2}\end{array}} \right.$. Chọn kết luận đúng:
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên nửa khoảng $\left[ { - 2; + \infty } \right)$.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{2x + 8 - 4}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8} + 4} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {2x + 8} + 4}} = 0$
Do đó A đúng.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 0$, theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại $x = - 2$.
Do đó B đúng và C sai.
Vậy cả A và B đều đúng.
Tính giới hạn: \(\lim \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\).
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\), \(n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}\).
Ta có:
\({u_2} = 1 - \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{2.2}}\);
\({u_3} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{{3 + 1}}{{2.3}}\);
\({u_4} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9}.\dfrac{{15}}{{16}} = \dfrac{5}{8} = \dfrac{{4 + 1}}{{2.4}}\)
\( \cdots \cdots \)
\({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\).
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}},\,\forall n \ge 2\)
Khi đó \(\lim \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\).
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}}&{{\rm{khi}}}&{x > - 2}\\0&{{\rm{khi}}}&{x = - 2}\end{array}} \right.$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
$\left( I \right)$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = 0$.
$\left( {II} \right)$ $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = - 2$.
$\left( {III} \right)$ $f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = - 2$.
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên nửa khoảng $\left[ { - 2; + \infty } \right)$.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{2x + 8 - 4}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8} + 4} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {2x + 8} + 4}} = 0$
Khẳng định $\left( I \right)$ đúng.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 0$, theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại $x = - 2$. Khẳng định $\left( {II} \right)$ đúng, khẳng định $\left( {III} \right)$ sai.
