Tổng hợp câu hay và khó chương 5 - Phần 2

Ta có: \({\left( {1 - x} \right)^{2018}} = C_{2018}^0 - xC_{2018}^1 + {x^2}C_{2018}^2 - {x^3}C_{2018}^3 + ... + {x^{2018}}C_{2018}^{2018}\)

Suy ra: \( - {\left( {1 - x} \right)^{2018}} =  - C_{2018}^0 + xC_{2018}^1 - {x^2}C_{2018}^2 + {x^3}C_{2018}^3 - ... - {x^{2018}}C_{2018}^{2018}\)

Lấy đạo hàm hai vế, ta được:

\(2018{\left( {1 - x} \right)^{2017}} = C_{2018}^1 - 2xC_{2018}^2 + 3{x^2}C_{2018}^3 - ... - 2018{x^{2017}}C_{2018}^{2018}\)

Cho \(x = 5\). Khi đó:

\(C_{2018}^1 - 2.5C_{2018}^2 + {3.5^2}C_{2018}^3 - ... - {2018.5^{2017}}C_{2018}^{2018} = 2018.{\left( {1 - 5} \right)^{2017}}\)\( = 2018.{\left( { - 4} \right)^{2017}}\)\( =  - {1009.2^{4035}}\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {m;{m^3} - 3m} \right)\) là: \(d:y = \left( {3{m^2} - 3} \right)\left( {x - m} \right) + {m^3} - 3m\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là: \(\left( {3{m^2} - 3} \right)\left( {x - m} \right) + {m^3} - 3m = {x^3} - 3x\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2}\left( {x + 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x =  - 2m\end{array} \right.\).

Suy ra \(N\left( { - 2m; - 8{m^3} + 6m} \right)\).

Ta có

\(MN = \sqrt {333}  \Leftrightarrow M{N^2} = 333 \Leftrightarrow {\left( {3m} \right)^2} + {\left( {9{m^3} - 9m} \right)^2} = 333\)\( \Leftrightarrow 9{m^6} - 18{m^4} + 10{m^2} - 37 = 0\).

Đặt \({m^2} = t\), \(\left( {t \ge 0} \right)\) ta được \(9{t^3} - 18{t^2} + 10t - 37 = 0\) \(\left( 2 \right)\).

Do phương trình \(\left( 2 \right)\) có duy nhất một nghiệm \(t\) dương nên sẽ có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Ta có: $C_{2018}^0 + C_{2018}^1.x + C_{2018}^2.{x^2} + ... + C_{2018}^{2018}.{x^{2018}} = {\left( {1 + x} \right)^{2018}}$

\( \Rightarrow C_{2018}^1 + 2C_{2018}^2.x + ... + 2018C_{2018}^{2018}.{x^{2017}} = 2018.{\left( {1 + x} \right)^{2017}}\)

\( \Rightarrow C_{2018}^1.x + 2.C_{2018}^2.{x^2} + ... + 2018C_{2018}^{2018}.{x^{2018}} = 2018x.{\left( {1 + x} \right)^{2017}}\)

\( \Rightarrow C_{2018}^1 + {2^2}.C_{2018}^2.x + ... + {2018^2}C_{2018}^{2018}.{x^{2018}} = 2018{\left( {1 + x} \right)^{2017}} + 2018.2017.x{\left( {1 + x} \right)^{2016}}\)

Thay \(x = 2\) \( \Rightarrow S = {2018.3^{2017}} + {2018.2017.2.3^{2016}}\) \( = {2018.3^{2016}}\left( {2.2017 + 3} \right)\)\( = {2018.3^{2016}}\left( {2.2018 + 1} \right)\)

Vậy \(a = 2016\), \(b = 2018\)\( \Rightarrow a + b = 4034\).

* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là

$y = \left( { - 3{x_0}^2 + 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - {x_0}^3 + 3{x_0}^2 - 2$.

* Để tiếp tuyến đi qua \(A\left( {m;2} \right)\) điều kiện là $2 = \left( { - 3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) - x_0^3 + 3x_0^2 - 2$

$ \Leftrightarrow \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)m = 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4{\rm{  }}\left( 1 \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\2x_0^2 + \left( {1 - 3m} \right){x_0} + 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Để có ba tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(A\) điều kiện là phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt đều khác \(2 \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 9{m^2} - 6m - 15 > 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \in S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{3};2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4x + m - 1\). Giả sử \(A\left( {a\,;\,{a^3} - 2{a^2} + \left( {m - 1} \right)a + 2m} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến tại $A$ là \(y = \left( {3{a^2} - 4a + m - 1} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} - 2{a^2} + \left( {m - 1} \right)a + 2m\)

Do tiếp tuyến qua \(M\left( {1\,;\,2} \right)\) nên: \(2 = \left( {3{a^2} - 4a + m - 1} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^3} - 2{a^2} + \left( {m - 1} \right)a + 2m\)

\( \Leftrightarrow  - 2{a^3} + 5{a^2} - 4a + 3m - 3 = 0\) (*).

Để từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) thì (*) có đúng hai nghiệm phân biệt hay phương trình \( - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x + 3m - 3 = 0\,\,\left( {**} \right)\) có đúng hai nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left( {**} \right)\) viết được dưới dạng \(2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right) = 0\) với \(a \ne b\).

Khi đó \(2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{x^3} - 2\left( {2a + b} \right){x^2} + 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)x - 2{a^2}b\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 =  - 2\left( {2a + b} \right)\\4 = 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)\\ - 3\left( {m - 1} \right) =  - 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = 4a + 2b\\2 = a\left( {a + 2b} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\2 = a\left( {a + 5 - 4a} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\3{a^2} - 5a + 2 = 0\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\a = 1;a = \dfrac{2}{3}\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;b = \dfrac{1}{2};m = \dfrac{4}{3}\\a = \dfrac{2}{3};b = \dfrac{7}{6};m = \dfrac{{109}}{{81}}\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{4}{3};\dfrac{{109}}{{81}}} \right\}\)

Xét \(x \in \left( { - \infty ;4} \right)\).

Ta có đồ thị \(y = g\left( x \right)\) là đường thẳng nên \(g\left( x \right)\) có dạng \(g\left( x \right) = ax + b\) và đồ thị \(y = g\left( x \right)\) đi qua hai điểm \((0;3)\) và \((2;7)\) nên \(g\left( x \right) = 2x + 3\).

Ta có đồ thị \(y = f\left( x \right)\) là Parabol nên \(f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = c{x^2} + dx + e\) và đồ thị \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \((0;6)\) và  có đỉnh là \((2;2)\) nên \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 6\).

Suy ra \(h(x) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g(x)}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{2x + 3}}\) khi \(x \in \left( { - \infty ;4} \right)\),

Ta có \(h'(x) = \dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {2x + 3} \right) - 2\left( {{x^2} - 4x + 6} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)mà \(2 \in \left( { - \infty ;4} \right)\) nên \(h'\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{49}}\).

Gọi \({A_k}\left( {{x_k};x_k^3 + 3x_k^2 + 1} \right) \in \left( C \right)\).

Phương trình tiếp tuyến tại \({A_k}\) là:

\({\Delta _k};y = \left( {3x_k^2 + 6{x_k}} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + x_k^3 + 3x_k^2 + 1\).

\({A_{k + 1}} = \left( C \right) \cap {\Delta _k}\), \(\left( {{x_{k + 1}} \ne {x_k}} \right)\)

Suy ra \({x^3} + 3{x^2} = \left( {3x_k^2 + 6{x_k}} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + x_k^3 + 3x_k^2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_k}\\{x^2} + x{x_k} + x_k^2 + 3\left( {x + {x_k}} \right) = 3x_k^2 + 6{x_k}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2{x_k} - 3\) hay \({x_{k + 1}} =  - 2{x_k} - 3 \Leftrightarrow \left( {{x_{k + 1}} + 1} \right) =  - 2\left( {{x_k} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {y_{k + 1}} =  - 2{y_k}\) là một cấp số nhân với \({y_1} = 2,q =  - 2\)

\({y_n} = {y_1}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\).

\( \Rightarrow {x_n} + 1 = 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Rightarrow {x_n} =  - 1 + 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\).

\({x_n} > {2^{2018}} \Rightarrow n = 2019\).

- Ta có: \({\left( {f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)} \right)^\prime } = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\)

Theo giả thiết ta được:\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\end{array} \right.\)\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2018\)

Vậy \(\left( {f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)} \right){'_{x = 1}} = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2018\).

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $y' = \dfrac{4}{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {m;\,\dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}} \right)$, $\left( {m \ne  - 1} \right)$ là: $y = \dfrac{4}{{{{\left( {2m + 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}$.

Tiếp tuyến này cắt $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + \dfrac{1}{2};\,0} \right)$ và $B\left( {0;\,\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right)$ với $m \notin \left\{ {1 - \sqrt 2 ;\,1 + \sqrt 2 } \right\}$.

Trọng tâm tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $y =  - x$$ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}{m^2} + m + \dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right)$

$ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 1 = \dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 1 = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 2 \\m = 1 - \sqrt 2 \\m = -2\\m = 0\end{array} \right.$.

So với điều kiện ta được $m = -2$ hoặc $m = 0$.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là $y = x + \dfrac{7}{{2}}$; $y = x - \dfrac{1}{2}$.

Với $\forall x \in \mathbb{R}$, ta có ${f^3}(2 - x) - 2{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}.g\left( x \right) + 36x = 0$ \(\left( 1 \right)\).

Đạo hàm hai vế của \(\left( 1 \right)\), ta được

$ - 3{f^2}\left( {2 - x} \right).f'\left( {2 - x} \right) - 12f\left( {2 + 3x} \right).f'\left( {2 + 3x} \right) + 2x.g\left( x \right) + {x^2}.g'\left( x \right) + 36 = 0$ \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), thay \(x = 0\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{f^3}\left( 2 \right) - 2{f^2}\left( 2 \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\ - 3{f^2}\left( 2 \right).f'\left( 2 \right) - 12f\left( 2 \right).f'\left( 2 \right) + 36 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 3 \right)\), ta có \(f\left( 2 \right) = 0 \vee f\left( 2 \right) = 2\).

Với \(f\left( 2 \right) = 0\), thế vào \(\left( 4 \right)\) ta được \(36 = 0\) (vô lí).

Với \(f\left( 2 \right) = 2\), thế vào \(\left( 4 \right)\) ta được \( - 36.f'\left( 2 \right) + 36 = 0\)\( \Leftrightarrow f'\left( 2 \right) = 1\).

Vậy $A = 3f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right)$$ = 3.2 + 4.1$$ = 10$.

Ta có \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\,\,\, khi \,\,\,x \ge 2\\{x^3} - {x^2} - 8x + 10\,\,\, khi \,\,\,x < 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\,\,\, khi \,\,\,x \ge 2\\3{x^2} - 2x - 8\,\,\, khi \,\,\,x < 2\end{array} \right.\)

Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\) \( \Rightarrow 4 + a = 0\) \( \Rightarrow a =  - 4\).

Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\) thì hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

\( \Rightarrow 4 + 2a + b =  - 2\) \( \Rightarrow b = 2\).

Vậy \({a^2} + {b^2} = 20\).

Ta có \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + C_n^3{x^3} + C_n^4{x^4} + ... + C_n^n{x^n}\)

Lấy đạo hàm 2 vế ta được: \(n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2x + 3C_n^3{x^2} + 4C_n^4{x^3} + ... + nC_n^n{x^{n - 1}}\)

Cho \(x = 1\) ta có \(n{.2^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + 4C_n^4 + ... + nC_n^n\)

Suy ra \(S = n{.2^{n - 1}}\). Theo giả thiết \(S \vdots 5\) nên \(n \vdots 5\)

Giả sử \(n = 5k\), mà \(40 < n < 100\) suy ra \(8 < k < 20\).

Vậy có $11$ giá trị \(n\) thỏa mãn.

\(f'\left( x \right) = \left( {2017 + 2x} \right)\left( {2016 + 3x} \right)....\left( {1 + 2018x} \right)\) \( + \left( {2018 + x} \right).2.\left( {2016 + 3x} \right)....\left( {1 + 2018x} \right)\) \( + ... +\left( {2018 + x} \right)\left( {2017 + 2x} \right)\left( {2016 + 3x} \right)....2018\)

Suy ra

\(f'\left( 1 \right) = {2019^{2017}} + {2.2019^{2017}} + {3.2019^{2017}} + ... + {2018.2019^{2017}}\)

\( = {2019^{2017}}\left( {1 + 2 + 3 + ... + 2018} \right)\)

\( = {2019^{2017}}.\dfrac{{2018.2019}}{2}\)\( = {1009.2019^{2018}}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4x + \left( {m - 1} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {1;\,2} \right)\) là \(y = kx - k + 2\).

Điều kiện tiếp xúc của \(\left( {{C_m}} \right)\) và tiếp tuyến là \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = kx - k + 2 & \left( 1 \right)\\3{x^2} - 4x + \left( {m - 1} \right) = k &  &  & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\({x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = 3{x^3} - 4{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 3{x^2} + 4x - \left( {m - 1} \right) + 2\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 0\,\left( * \right)\).

Để qua \(M\left( {1;\,2} \right)\) kẻ được đúng \(2\) tiếp tuyến với \(\left( {{C_m}} \right)\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có đúng \(2\) nghiệm phân biệt.

Cách 1: (đối với lớp 11)

Phương trình \(\left( * \right)\) có đúng \(2\) nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) viết được dưới dạng \(2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right) = 0\) với \(a \ne b\).

Khi đó \(2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{x^3} - 2\left( {2a + b} \right){x^2} + 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)x - 2{a^2}b\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 =  - 2\left( {2a + b} \right)\\4 = 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)\\ - 3\left( {m - 1} \right) =  - 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = 4a + 2b\\2 = a\left( {a + 2b} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\2 = a\left( {a + 5 - 4a} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\3{a^2} - 5a + 2 = 0\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\a = 1;a = \dfrac{2}{3}\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;b = \dfrac{1}{2};m = \dfrac{4}{3}\\a = \dfrac{2}{3};b = \dfrac{7}{6};m = \dfrac{{109}}{{81}}\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{4}{3};\dfrac{{109}}{{81}}} \right\}\)

Do đó tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{4}{3} + \dfrac{{109}}{{81}} = \dfrac{{217}}{{81}}\).

Ta có \(f'\left( {{x_0}} \right) = g'\left( {{x_0}} \right) = h'\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) mà \(h'\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)\left[ {3 - g\left( x \right)} \right] + g'\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{{\left[ {3 - g\left( x \right)} \right]}^2}}}\)

Ta có \(h'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{f'\left( {{x_0}} \right)\left[ {3 - g\left( {{x_0}} \right)} \right] + g'\left( {{x_0}} \right)f\left( {{x_0}} \right)}}{{{{\left[ {3 - g\left( {{x_0}} \right)} \right]}^2}}}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {3 - g\left( {{x_0}} \right)} \right]^2} = 3 - g\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Đặt \(a = g\left( {{x_0}} \right)\) nên \(f\left( {{x_0}} \right) = {a^2} - 5a + 6 = {\left( {a - \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} \ge  - \dfrac{1}{4}\).

Vậy \(f\left( {2018} \right) \ge  - \dfrac{1}{4}\), dấu $''=''$ xảy ra khi \(g\left( {2018} \right) = \dfrac{5}{2}\)

Giả sử $f\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{18}}{x^{18}}$.

Khi đó ${f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = 6!.{a_6} + {b_7}x + {b_8}{x^2} + ... + {b_{18}}{x^{12}}$$ \Rightarrow {f^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right) = 720{a_6}$.

Ta có ${\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)^9}$$ =  - {\left( {1 + 2x - 3{x^2}} \right)^9}$$ =  - \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {2x - 3{x^2}} \right)}^k}} $

$ =  - \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {2x} \right)}^{k - i}}{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^i}} } $$ =  - \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_9^kC_k^i{2^{k - i}}{{\left( { - 3} \right)}^i}{x^{k + i}}} } $.

Số hạng chứa ${x^6}$ ứng với $k$, $i$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}0 \le i \le k \le 9\\k + i = 6\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {6;0} \right),{\rm{ }}\left( {5;1} \right),{\rm{ }}\left( {4;2} \right),{\rm{ }}\left( {3;3} \right)} \right\}$

$ \Rightarrow {a_6} =  - \left[ {C_9^6C_6^0{2^6}{{\left( { - 3} \right)}^0} + C_9^5C_5^1{2^4}\left( { - 3} \right) + C_9^4C_4^2{2^2}{{\left( { - 3} \right)}^2} + C_9^3C_3^3{2^0}{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right] =  - 84$

$ \Rightarrow {f^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right) = 720.\left( { - 64} \right) =  - 60480$