Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\,\,\, khi \,\,\,x \ge 2\\{x^3} - {x^2} - 8x + 10\,\,\, khi \,\,\,x < 2\end{array} \right.\). Biết hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\). Giá trị của \({a^2} + {b^2}\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\,\,\, khi \,\,\,x \ge 2\\{x^3} - {x^2} - 8x + 10\,\,\, khi \,\,\,x < 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\,\,\, khi \,\,\,x \ge 2\\3{x^2} - 2x - 8\,\,\, khi \,\,\,x < 2\end{array} \right.\)
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\) \( \Rightarrow 4 + a = 0\) \( \Rightarrow a = - 4\).
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\) thì hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
\( \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2\) \( \Rightarrow b = 2\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = 20\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\) (tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\))
- Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại \(x = 2\) (\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\))
- Từ hai phương trình trên giải \(a,b\) và kết luận.
