Câu hỏi:
2 năm trước
Cho đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} + 1\). Gọi \({A_1}\left( {1;5} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({A_1}\) cắt \(\left( C \right)\) tại \({A_2}\), tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({A_2}\) cắt \(\left( C \right)\) tại \({A_3}\)…, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({A_n}\) cắt \(\left( C \right)\) tại \({A_{n + 1}}\). Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho \({A_n}\) có hoành độ lớn hơn \({2^{2018}}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi \({A_k}\left( {{x_k};x_k^3 + 3x_k^2 + 1} \right) \in \left( C \right)\).
Phương trình tiếp tuyến tại \({A_k}\) là:
\({\Delta _k};y = \left( {3x_k^2 + 6{x_k}} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + x_k^3 + 3x_k^2 + 1\).
\({A_{k + 1}} = \left( C \right) \cap {\Delta _k}\), \(\left( {{x_{k + 1}} \ne {x_k}} \right)\)
Suy ra \({x^3} + 3{x^2} = \left( {3x_k^2 + 6{x_k}} \right)\left( {x - {x_k}} \right) + x_k^3 + 3x_k^2\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_k}\\{x^2} + x{x_k} + x_k^2 + 3\left( {x + {x_k}} \right) = 3x_k^2 + 6{x_k}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = - 2{x_k} - 3\) hay \({x_{k + 1}} = - 2{x_k} - 3 \Leftrightarrow \left( {{x_{k + 1}} + 1} \right) = - 2\left( {{x_k} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {y_{k + 1}} = - 2{y_k}\) là một cấp số nhân với \({y_1} = 2,q = - 2\)
\({y_n} = {y_1}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\).
\( \Rightarrow {x_n} + 1 = 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Rightarrow {x_n} = - 1 + 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\).
\({x_n} > {2^{2018}} \Rightarrow n = 2019\).
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \({A_k} \in \left( C \right)\)
- Tìm giao điểm \({A_{k + 1}}\), kết hợp điều kiện bài cho tìm \(n\)
