Tổng $C_{2018}^1 - 2.5C_{2018}^2 + {3.5^2}C_{2018}^3 - ... - {2018.5^{2017}}C_{2018}^{2018}$ bằng

Trên đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = {x^3} - 3x$ có bao nhiêu điểm $M$ mà tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm thứ hai $N$ thỏa mãn $MN = \sqrt {333}$.

Tổng $S = {1^2}C_{2018}^1{.2^0} + {2^2}C_{2018}^2{.2^1} + {3^2}C_{2018}^3{.2^2} + ... + {2018^2}C_{2018}^{2018}{.2^{2017}} = {2018.3^a}\left( {2b + 1} \right)$

với $a$, $b$ là các số nguyên dương và $2b + 1$ không chia hết cho $3.$ Tính $a + b$.

Cho hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( {m;2} \right)$. Tìm tập hợp $S$ là tập tất cả các giá trị thực của $m$ để có ba tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $A$.

Cho hàm số $\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m$, với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để từ điểm $M\left( {1\,;\,2} \right)$ có thể vẽ đến $\left( {{C_m}} \right)$ đúng hai tiếp tuyến.

Cho hàm số $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Đặt $h(x) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g(x)}}$. Tính $h'\left( 2 \right)$ (đạo hàm của hàm số $h(x)$ tại $x = 2$).  

Cho đồ thị $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} + 1$. Gọi ${A_1}\left( {1;5} \right)$ là điểm thuộc $\left( C \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${A_1}$ cắt $\left( C \right)$ tại ${A_2}$, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${A_2}$ cắt $\left( C \right)$ tại ${A_3}$…, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${A_n}$ cắt $\left( C \right)$ tại ${A_{n + 1}}$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho ${A_n}$ có hoành độ lớn hơn ${2^{2018}}$.