Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;2} \right)\). Tìm tập hợp \(S\) là tập tất cả các giá trị thực của \(m\) để có ba tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(A\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là
$y = \left( { - 3{x_0}^2 + 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - {x_0}^3 + 3{x_0}^2 - 2$.
* Để tiếp tuyến đi qua \(A\left( {m;2} \right)\) điều kiện là $2 = \left( { - 3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) - x_0^3 + 3x_0^2 - 2$
$ \Leftrightarrow \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)m = 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4{\rm{ }}\left( 1 \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\2x_0^2 + \left( {1 - 3m} \right){x_0} + 2 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Để có ba tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(A\) điều kiện là phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt đều khác \(2 \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 9{m^2} - 6m - 15 > 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow m \in S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{3};2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
- Từ điều kiện tiếp tuyến đi qua \(A\) lập phương trình ẩn \({x_0}\)
- Tìm điều kiện để phương trình trên có \(3\) nghiệm phân biệt.
