Câu hỏi:
2 năm trước
Trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có bao nhiêu điểm \(M\) mà tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm thứ hai \(N\) thỏa mãn \(MN = \sqrt {333} \).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {m;{m^3} - 3m} \right)\) là: \(d:y = \left( {3{m^2} - 3} \right)\left( {x - m} \right) + {m^3} - 3m\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là: \(\left( {3{m^2} - 3} \right)\left( {x - m} \right) + {m^3} - 3m = {x^3} - 3x\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2}\left( {x + 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = - 2m\end{array} \right.\).
Suy ra \(N\left( { - 2m; - 8{m^3} + 6m} \right)\).
Ta có
\(MN = \sqrt {333} \Leftrightarrow M{N^2} = 333 \Leftrightarrow {\left( {3m} \right)^2} + {\left( {9{m^3} - 9m} \right)^2} = 333\)\( \Leftrightarrow 9{m^6} - 18{m^4} + 10{m^2} - 37 = 0\).
Đặt \({m^2} = t\), \(\left( {t \ge 0} \right)\) ta được \(9{t^3} - 18{t^2} + 10t - 37 = 0\) \(\left( 2 \right)\).
Do phương trình \(\left( 2 \right)\) có duy nhất một nghiệm \(t\) dương nên sẽ có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {m;{m^3} - 3m} \right) \in \left( C \right)\)
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tìm các giao điểm.
- Từ điều kiện \(MN = \sqrt {333} \) lập phương trình ẩn tìm \(m\) và kết luận.
