Cho hàm số \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\), với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để từ điểm \(M\left( {1\,;\,2} \right)\) có thể vẽ đến \(\left( {{C_m}} \right)\) đúng hai tiếp tuyến.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4x + m - 1\). Giả sử \(A\left( {a\,;\,{a^3} - 2{a^2} + \left( {m - 1} \right)a + 2m} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến tại $A$ là \(y = \left( {3{a^2} - 4a + m - 1} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} - 2{a^2} + \left( {m - 1} \right)a + 2m\)

Do tiếp tuyến qua \(M\left( {1\,;\,2} \right)\) nên: \(2 = \left( {3{a^2} - 4a + m - 1} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^3} - 2{a^2} + \left( {m - 1} \right)a + 2m\)

\( \Leftrightarrow  - 2{a^3} + 5{a^2} - 4a + 3m - 3 = 0\) (*).

Để từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) thì (*) có đúng hai nghiệm phân biệt hay phương trình \( - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x + 3m - 3 = 0\,\,\left( {**} \right)\) có đúng hai nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left( {**} \right)\) viết được dưới dạng \(2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right) = 0\) với \(a \ne b\).

Khi đó \(2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{x^3} - 2\left( {2a + b} \right){x^2} + 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)x - 2{a^2}b\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 =  - 2\left( {2a + b} \right)\\4 = 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)\\ - 3\left( {m - 1} \right) =  - 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = 4a + 2b\\2 = a\left( {a + 2b} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\2 = a\left( {a + 5 - 4a} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\3{a^2} - 5a + 2 = 0\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\a = 1;a = \dfrac{2}{3}\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;b = \dfrac{1}{2};m = \dfrac{4}{3}\\a = \dfrac{2}{3};b = \dfrac{7}{6};m = \dfrac{{109}}{{81}}\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{4}{3};\dfrac{{109}}{{81}}} \right\}\)