Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn:
${f^3}\left( {2 - x} \right) - 2{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}.g\left( x \right) + 36x = 0$, với $\forall x \in \mathbb{R}$. Tính $A = 3f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Với $\forall x \in \mathbb{R}$, ta có ${f^3}(2 - x) - 2{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}.g\left( x \right) + 36x = 0$ \(\left( 1 \right)\).
Đạo hàm hai vế của \(\left( 1 \right)\), ta được
$ - 3{f^2}\left( {2 - x} \right).f'\left( {2 - x} \right) - 12f\left( {2 + 3x} \right).f'\left( {2 + 3x} \right) + 2x.g\left( x \right) + {x^2}.g'\left( x \right) + 36 = 0$ \(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), thay \(x = 0\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{f^3}\left( 2 \right) - 2{f^2}\left( 2 \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\ - 3{f^2}\left( 2 \right).f'\left( 2 \right) - 12f\left( 2 \right).f'\left( 2 \right) + 36 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Từ \(\left( 3 \right)\), ta có \(f\left( 2 \right) = 0 \vee f\left( 2 \right) = 2\).
Với \(f\left( 2 \right) = 0\), thế vào \(\left( 4 \right)\) ta được \(36 = 0\) (vô lí).
Với \(f\left( 2 \right) = 2\), thế vào \(\left( 4 \right)\) ta được \( - 36.f'\left( 2 \right) + 36 = 0\)\( \Leftrightarrow f'\left( 2 \right) = 1\).
Vậy $A = 3f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right)$$ = 3.2 + 4.1$$ = 10$.
Hướng dẫn giải:
- Đạo hàm hai vế của đẳng thức.
- Thay \(x = 0\) vào đẳng thức đầu và đẳng thức sau đạo hàm suy ra \(f\left( 2 \right)\).
- Tìm \(f'\left( 2 \right)\) và kết luận.
