Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\) \(\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị của \(m\) để từ điểm \(M\left( {1;\,2} \right)\) kẻ được đúng \(2\) tiếp tuyến với \(\left( {{C_m}} \right)\). Tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) là

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4x + \left( {m - 1} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {1;\,2} \right)\) là \(y = kx - k + 2\).

Điều kiện tiếp xúc của \(\left( {{C_m}} \right)\) và tiếp tuyến là \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = kx - k + 2 & \left( 1 \right)\\3{x^2} - 4x + \left( {m - 1} \right) = k &  &  & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\({x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = 3{x^3} - 4{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 3{x^2} + 4x - \left( {m - 1} \right) + 2\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 0\,\left( * \right)\).

Để qua \(M\left( {1;\,2} \right)\) kẻ được đúng \(2\) tiếp tuyến với \(\left( {{C_m}} \right)\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có đúng \(2\) nghiệm phân biệt.

Cách 1: (đối với lớp 11)

Phương trình \(\left( * \right)\) có đúng \(2\) nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) viết được dưới dạng \(2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right) = 0\) với \(a \ne b\).

Khi đó \(2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3\left( {m - 1} \right) = 2{x^3} - 2\left( {2a + b} \right){x^2} + 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)x - 2{a^2}b\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 =  - 2\left( {2a + b} \right)\\4 = 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)\\ - 3\left( {m - 1} \right) =  - 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = 4a + 2b\\2 = a\left( {a + 2b} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\2 = a\left( {a + 5 - 4a} \right)\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\3{a^2} - 5a + 2 = 0\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 5 - 4a\\a = 1;a = \dfrac{2}{3}\\3m - 3 = 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;b = \dfrac{1}{2};m = \dfrac{4}{3}\\a = \dfrac{2}{3};b = \dfrac{7}{6};m = \dfrac{{109}}{{81}}\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{4}{3};\dfrac{{109}}{{81}}} \right\}\)

Do đó tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{4}{3} + \dfrac{{109}}{{81}} = \dfrac{{217}}{{81}}\).