Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{2x + 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng $y = - x$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.
Ta có $y' = \dfrac{4}{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {m;\,\dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}} \right)$, $\left( {m \ne - 1} \right)$ là: $y = \dfrac{4}{{{{\left( {2m + 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}$.
Tiếp tuyến này cắt $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + \dfrac{1}{2};\,0} \right)$ và $B\left( {0;\,\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right)$ với $m \notin \left\{ {1 - \sqrt 2 ;\,1 + \sqrt 2 } \right\}$.
Trọng tâm tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $y = - x$$ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}{m^2} + m + \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right)$
$ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 1 = \dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 1 = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 2 \\m = 1 - \sqrt 2 \\m = -2\\m = 0\end{array} \right.$.
So với điều kiện ta được $m = -2$ hoặc $m = 0$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là $y = x + \dfrac{7}{{2}}$; $y = x - \dfrac{1}{2}$.
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại $M\left( {m;\,\dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}} \right)$
- Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ.
- Tìm tọa độ trọng tâm tam giác và thay vào đường thẳng \(y = - x\) tìm \(m\)
