Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)^9}$. Tính đạo hàm cấp $6$ của hàm số tại điểm $x = 0$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Giả sử $f\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{18}}{x^{18}}$.
Khi đó ${f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = 6!.{a_6} + {b_7}x + {b_8}{x^2} + ... + {b_{18}}{x^{12}}$$ \Rightarrow {f^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right) = 720{a_6}$.
Ta có ${\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)^9}$$ = - {\left( {1 + 2x - 3{x^2}} \right)^9}$$ = - \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {2x - 3{x^2}} \right)}^k}} $
$ = - \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {2x} \right)}^{k - i}}{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^i}} } $$ = - \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_9^kC_k^i{2^{k - i}}{{\left( { - 3} \right)}^i}{x^{k + i}}} } $.
Số hạng chứa ${x^6}$ ứng với $k$, $i$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}0 \le i \le k \le 9\\k + i = 6\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {6;0} \right),{\rm{ }}\left( {5;1} \right),{\rm{ }}\left( {4;2} \right),{\rm{ }}\left( {3;3} \right)} \right\}$
$ \Rightarrow {a_6} = - \left[ {C_9^6C_6^0{2^6}{{\left( { - 3} \right)}^0} + C_9^5C_5^1{2^4}\left( { - 3} \right) + C_9^4C_4^2{2^2}{{\left( { - 3} \right)}^2} + C_9^3C_3^3{2^0}{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right] = - 84$
$ \Rightarrow {f^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right) = 720.\left( { - 64} \right) = - 60480$
Hướng dẫn giải:
- Giả sử $f\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{18}}{x^{18}}$, tính đạo hàm cấp \(6\) của \(f\left( x \right)\).
- Thay \(x = 0\) tìm \({f^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)\) dựa vào hệ số trong khai triển ${\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)^9}$
- Khai triển ${\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)^9}$ suy ra hệ số cần tìm.
