Cho \(S = C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + 4C_n^4 + ... + nC_n^n\). Biết \(S \vdots 5\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của \(n\) thỏa mãn biết \(40 < n < 100\).

Tổng \(C_{2018}^1 - 2.5C_{2018}^2 + {3.5^2}C_{2018}^3 - ... - {2018.5^{2017}}C_{2018}^{2018}\) bằng

Trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có bao nhiêu điểm \(M\) mà tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm thứ hai \(N\) thỏa mãn \(MN = \sqrt {333} \).

Tổng \(S = {1^2}C_{2018}^1{.2^0} + {2^2}C_{2018}^2{.2^1} + {3^2}C_{2018}^3{.2^2} + ... + {2018^2}C_{2018}^{2018}{.2^{2017}} = {2018.3^a}\left( {2b + 1} \right)\)

với \(a\), \(b\) là các số nguyên dương và \(2b + 1\) không chia hết cho $3.$ Tính \(a + b\).

Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;2} \right)\). Tìm tập hợp \(S\) là tập tất cả các giá trị thực của \(m\) để có ba tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(A\).

Cho hàm số \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\), với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để từ điểm \(M\left( {1\,;\,2} \right)\) có thể vẽ đến \(\left( {{C_m}} \right)\) đúng hai tiếp tuyến.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(h(x) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g(x)}}\). Tính \(h'\left( 2 \right)\) (đạo hàm của hàm số \(h(x)\) tại \(x = 2\)).  

Cho đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} + 1\). Gọi \({A_1}\left( {1;5} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({A_1}\) cắt \(\left( C \right)\) tại \({A_2}\), tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({A_2}\) cắt \(\left( C \right)\) tại \({A_3}\)…, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({A_n}\) cắt \(\left( C \right)\) tại \({A_{n + 1}}\). Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho \({A_n}\) có hoành độ lớn hơn \({2^{2018}}\).