Tổng hợp câu hay và khó chương 3 - Phần 2

Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống.

Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng $\dfrac{3}{4}$ lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là ${S_1} = 6.\dfrac{3}{4} + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} + ... + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} + ...$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = 6.\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{2}$ và công bội $q = \dfrac{3}{4}$. Suy ra ${S_1} = \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 18$.

Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên là ${S_2} = 6 + 6.\left( {\dfrac{3}{4}} \right) + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} + ... + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} + ...$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = 6$ và công bội $q = \dfrac{3}{4}$. Suy ra ${S_2} = \dfrac{6}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 24$ .

Vậy tổng quãng đường bóng bay là $S = {S_1} + {S_2} = 18 + 24 = 42$.

Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} = n$, suy ra $\left( {{v_n}} \right)$ là một câp số cộng với số hạng đầu ${v_1} = {u_2} - {u_1} = 1$ và công sai $d = 1$.

Xét tổng ${S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}}$.

Ta có ${S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}}$$= \dfrac{{217.\left( {{v_1} + {v_{217}}} \right)}}{2}$$= \dfrac{{217.\left( {1 + 217} \right)}}{2} = 23653$.

Mà ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$ suy ra ${S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{218}} - {u_{217}}} \right)$$= {u_{218}} - {u_1}$$\Rightarrow {u_{218}} = {S_{217}} + {u_1} = 23653$.

${a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {a_n} - \dfrac{1}{9} = 10\left( {{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{9}} \right)\,\,(1)$.

Đặt ${b_n} = {a_n} - \dfrac{1}{9} \Rightarrow {b_1} = {a_1} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$. Từ $(1) \Rightarrow {b_n} = 10{b_{n - 1}},\forall n \ge 2$

Dãy $\left( {{b_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội là $q = 10$. Nên ${b_n} = {b_1}.{q^{n - 1}} = \dfrac{8}{9}{.10^{n - 1}}$.

Do đó ${a_n} = {b_n} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}{10^{n - 1}} + \dfrac{1}{9},\forall n = 1,2,...$.

Ta có ${a_n} > {10^{100}} \Leftrightarrow \dfrac{8}{9}{10^{n - 1}} + \dfrac{1}{9} > {10^{100}}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ để ${a_n} > {10^{100}}$ là $n = 102$.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

${S_{100}} = 100{u_1} + \dfrac{{100.99}}{2}d \Leftrightarrow 100 + 4950d = 14950 \Leftrightarrow d = 3$.

Do đó ${u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 6052$.

Ta có: $\dfrac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}}  + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} .\left( {\sqrt {{u_k}}  + \sqrt {{u_{k + 1}}} } \right)}} = \dfrac{1}{d}.\dfrac{{\sqrt {{u_{k + 1}}}  - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right)$.

Do đó:

$S = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }}} \right) + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_3}} }}} \right) + ... + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2017}}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right)$

$= \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right)$.

Ta có ${S_{2018}} = \dfrac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)$, ${S_{1009}} = \dfrac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)$

${u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)$$\Leftrightarrow \dfrac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)$$= 4.\dfrac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)$

$\Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2\left( {2{u_1} + 1008d} \right)$$\Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{d}{2}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$: $\dfrac{d}{2}$, $\dfrac{{3d}}{2}$, $\dfrac{{5d}}{2}$, ...

Do đó ${u_3} = \dfrac{{5d}}{2},{u_5} = \dfrac{{9d}}{2},{u_{14}} = \dfrac{{27d}}{2}$

Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là ${u_n}$.

Ta có: ${u_1} = 1$, ${u_2} = 2$, ${u_3} = 3$, … và $S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3003$.

Nhận xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 1$, công sai $d = 1$.

Khi đó $S = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$$= 3003$.

Suy ra $\dfrac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)1} \right]}}{2} = 3003$ $\Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6006$ $\Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n =  - 78\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow n = 77$ (vì $n \in \mathbb{N}$).

Vậy số hàng cây được trồng là $77$.

Gọi ${r_i}$ là khoảng cách lần rơi thứ $i$

Ta có ${r_1} = 81$, ${r_2} = \dfrac{2}{3}.81$,…, ${r_n} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81$,…

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ $n$ bằng $81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}$.

Gọi ${t_i}$ là khoảng cách lần nảy thứ $i$

Ta có ${t_1} = \dfrac{2}{3}.81$, ${t_2} = \left( {\dfrac{2}{3}} \right).\dfrac{2}{3}81$,…, ${t_n} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\dfrac{2}{3}.81$,…

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ $n$ bằng $\dfrac{2}{3}.81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}$.

Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng $S = \lim \left( {81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}} + \dfrac{2}{3}.81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}} \right) = 405$.

Ta có : ${u_2} = {5^{3.2}},{u_3} = {5^{3.2.2}} = {5^{{{3.2}^{2 - 1}}}},{u_4} = {5^{{{3.2}^{3 - 1}}}},...$

Nên đặt ${u_n} = {5^{{v_n}}}$, với ${v_n} = {3.2^{n - 1}}$,$n \in {\mathbb{N}^*}$.

${v_1} + {v_2} + ... + {v_k} = 3.\dfrac{{{2^k} - 1}}{{2 - 1}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)$.

${u_1}.{u_2}...{u_k} = {5^{{v_1} + {v_2} + ... + {v_k}}}$.

Suy ra $3\left({{2^k} - 1} \right) = 765 \Leftrightarrow {2^k} - 1 = 255$$\Leftrightarrow {2^k} = 256$ $\Leftrightarrow k = 8$.

Ta có ${u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{5n}}{u_n} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{{{u_n}}}{n}$.

Đặt ${v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}$, $\forall n \ge 1$. Suy ra $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhận có công bội $q = \dfrac{1}{5}$ và ${v_1} = \dfrac{1}{5}$.

Ta có $S = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{u_k}}}{k} = \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}}  = {v_1}\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{5}}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{5^n}}}}  = {T_n}$.

Do ${v_n} > 0$, $\forall n \ge 1$ nên $\left( {{T_n}} \right)$ là dãy tăng. Suy ra ${T_n} < \dfrac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}} = {T_{2018}} \Leftrightarrow n < 2018$.

Vì $- 25$, $2a$, $3b$ là cấp số cộng  nên $- 25 + 3b = 4a$$\Rightarrow 3b - 9 = 4a + 16$.

Vì $2$, $a + 2$, $b - 3$ là cấp số nhân nên $2\left( {b - 3} \right) = {\left( {a + 2} \right)^2}$.

Suy ra $2\dfrac{{\left( {4a + 16} \right)}}{3} = {\left( {a + 2} \right)^2}$$\Rightarrow 2\left( {4a + 16} \right) = 3{\left( {a + 2} \right)^2}$$\Rightarrow 3{a^2} + 4a - 20 = 0$

Vì $a > 0$ nên $a = 2$ suy  ra $b = 11$ .

Vậy ${a^2} + {b^2} - 3ab$ $= 4 + 121 - 66 = 59$