Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao $6\left( {\rm{m}} \right)$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:
Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống.
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \(\dfrac{3}{4}\) lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là ${S_1} = 6.\dfrac{3}{4} + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^3} + ... + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} + ...$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = 6.\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{2}$ và công bội \(q = \dfrac{3}{4}\). Suy ra \({S_1} = \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 18\).
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên là \({S_2} = 6 + 6.\left( {\dfrac{3}{4}} \right) + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2} + ... + 6.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} + ...\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = \dfrac{3}{4}\). Suy ra \({S_2} = \dfrac{6}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 24\) .
Vậy tổng quãng đường bóng bay là \(S = {S_1} + {S_2} = 18 + 24 = 42\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bởi công thức truy hồi sau \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 0{\rm{ }}}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + n;{\rm{ }}n \ge 1}\end{array}} \right.\); \({u_{218}}\) nhận giá trị nào sau đây?
Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} = n\), suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là một câp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).
Xét tổng \({S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}}\).
Ta có \({S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}}\)\( = \dfrac{{217.\left( {{v_1} + {v_{217}}} \right)}}{2}\)\( = \dfrac{{217.\left( {1 + 217} \right)}}{2} = 23653\).
Mà \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) suy ra \({S_{217}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{217}} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{218}} - {u_{217}}} \right)\)\( = {u_{218}} - {u_1}\)\( \Rightarrow {u_{218}} = {S_{217}} + {u_1} = 23653\).
Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) thỏa mãn \({a_1} = 1\) và \({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1\), \(\forall n \ge 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({a_n} > {10^{100}}\).
\({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {a_n} - \dfrac{1}{9} = 10\left( {{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{9}} \right)\,\,(1)\).
Đặt \( {b_n} = {a_n} - \dfrac{1}{9} \Rightarrow {b_1} = {a_1} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\). Từ \((1) \Rightarrow {b_n} = 10{b_{n - 1}},\forall n \ge 2\)
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội là $q = 10$. Nên \({b_n} = {b_1}.{q^{n - 1}} = \dfrac{8}{9}{.10^{n - 1}}\).
Do đó ${a_n} = {b_n} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}{10^{n - 1}} + \dfrac{1}{9},\forall n = 1,2,...$.
Ta có \({a_n} > {10^{100}} \Leftrightarrow \dfrac{8}{9}{10^{n - 1}} + \dfrac{1}{9} > {10^{100}}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({a_n} > {10^{100}}\) là \(n = 102\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đều dương, số hạng đầu \({u_1} = 1\) và tổng của \(100\) số hạng đầu tiên bằng \(14950\). Tính giá trị của tổng
\(S = \dfrac{1}{{{u_2}\sqrt {{u_1}} + {u_1}\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{{u_3}\sqrt {{u_2}} + {u_2}\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}}\sqrt {{u_{2017}}} + {u_{2017}}\sqrt {{u_{2018}}} }}\).
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
\({S_{100}} = 100{u_1} + \dfrac{{100.99}}{2}d \Leftrightarrow 100 + 4950d = 14950 \Leftrightarrow d = 3\).
Do đó \({u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 6052\).
Ta có: \(\dfrac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}} + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} .\left( {\sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k + 1}}} } \right)}} = \dfrac{1}{d}.\dfrac{{\sqrt {{u_{k + 1}}} - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right)\).
Do đó:
\(S = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }}} \right) + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_3}} }}} \right) + ... + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2017}}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right)\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\). Chọn kết luận đúng:
Ta có ${S_{2018}} = \dfrac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)$, ${S_{1009}} = \dfrac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)$
\({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right)$$ = 4.\dfrac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)$
$ \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2\left( {2{u_1} + 1008d} \right)$$ \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{d}{2}$.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): $\dfrac{d}{2}$, $\dfrac{{3d}}{2}$, $\dfrac{{5d}}{2}$, ...
Do đó \({u_3} = \dfrac{{5d}}{2},{u_5} = \dfrac{{9d}}{2},{u_{14}} = \dfrac{{27d}}{2}\)
$3003$ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng $1$ cây, hàng thứ hai trồng $2$ cây, hàng thứ ba trồng $3$ cây, …cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là ${u_n}$.
Ta có: ${u_1} = 1$, ${u_2} = 2$, ${u_3} = 3$, … và $S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3003$.
Nhận xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 1$, công sai $d = 1$.
Khi đó $S = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$$ = 3003$.
Suy ra $\dfrac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)1} \right]}}{2} = 3003 $ $ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6006 $ $ \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n = - 78\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 77$ (vì $n \in \mathbb{N}$).
Vậy số hàng cây được trồng là $77$.
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(81{\rm{m}}\). Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng
Gọi \({r_i}\) là khoảng cách lần rơi thứ \(i\)
Ta có \({r_1} = 81\), \({r_2} = \dfrac{2}{3}.81\),…, \({r_n} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81\),…
Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ \(n\) bằng \(81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}\).
Gọi \({t_i}\) là khoảng cách lần nảy thứ \(i\)
Ta có \({t_1} = \dfrac{2}{3}.81\), \({t_2} = \left( {\dfrac{2}{3}} \right).\dfrac{2}{3}81\),…, \({t_n} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\dfrac{2}{3}.81\),…
Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ \(n\) bằng \(\dfrac{2}{3}.81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}\).
Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng \(S = \lim \left( {81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}} + \dfrac{2}{3}.81.\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}} \right) = 405\).
Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$:${u_1} = {5^3}$,${u_{n + 1}} = u_n^2$,$k \in {\mathbb{N}^*}$ thỏa mãn ${u_1}.{u_2}...{u_k} = {5^{765}}$. Giá trị của $k$ là:
Ta có : \({u_2} = {5^{3.2}},{u_3} = {5^{3.2.2}} = {5^{{{3.2}^{2 - 1}}}},{u_4} = {5^{{{3.2}^{3 - 1}}}},...\)
Nên đặt ${u_n} = {5^{{v_n}}}$, với ${v_n} = {3.2^{n - 1}}$,$n \in {\mathbb{N}^*}$.
${v_1} + {v_2} + ... + {v_k} = 3.\dfrac{{{2^k} - 1}}{{2 - 1}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)$.
${u_1}.{u_2}...{u_k} = {5^{{v_1} + {v_2} + ... + {v_k}}}$.
Suy ra $3\left({{2^k} - 1} \right) = 765 \Leftrightarrow {2^k} - 1 = 255$$ \Leftrightarrow {2^k} = 256$ $ \Leftrightarrow k = 8$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \dfrac{1}{5}\) và \({u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{5n}}{u_n}\), \(\forall n \ge 1\). Tìm tất cả giá trị \(n\) để \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{u_k}}}{k} < \dfrac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}}} \).
Ta có \({u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{5n}}{u_n} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{{{u_n}}}{n}\).
Đặt \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}\), \(\forall n \ge 1\). Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhận có công bội \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({v_1} = \dfrac{1}{5}\).
Ta có \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{u_k}}}{k} = \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} = {v_1}\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{5}}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{5^n}}}} = {T_n}\).
Do \({v_n} > 0\), \(\forall n \ge 1\) nên \(\left( {{T_n}} \right)\) là dãy tăng. Suy ra \({T_n} < \dfrac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}} = {T_{2018}} \Leftrightarrow n < 2018\).
Xét các số thực dương \(a\),\(b\) sao cho \( - 25\), \(2a\), \(3b\) là cấp số cộng và \(2\), \(a + 2\), \(b - 3\) là cấp số nhân. Khi đó \({a^2} + {b^2} - 3ab\) bằng :
Vì \( - 25\), \(2a\), \(3b\) là cấp số cộng nên \( - 25 + 3b = 4a\)\( \Rightarrow 3b - 9 = 4a + 16\).
Vì \(2\), \(a + 2\), \(b - 3\) là cấp số nhân nên \(2\left( {b - 3} \right) = {\left( {a + 2} \right)^2}\).
Suy ra \(2\dfrac{{\left( {4a + 16} \right)}}{3} = {\left( {a + 2} \right)^2}\)\( \Rightarrow 2\left( {4a + 16} \right) = 3{\left( {a + 2} \right)^2}\)\( \Rightarrow 3{a^2} + 4a - 20 = 0\)
Vì \(a > 0\) nên \(a = 2\) suy ra \(b = 11\) .
Vậy \({a^2} + {b^2} - 3ab\) \( = 4 + 121 - 66 = 59\)
