Xét các số thực dương \(a\),\(b\) sao cho \( - 25\), \(2a\), \(3b\) là cấp số cộng và \(2\), \(a + 2\), \(b - 3\) là cấp số nhân. Khi đó \({a^2} + {b^2} - 3ab\) bằng :

Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao $6\left( {\rm{m}} \right)$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bởi công thức truy hồi sau \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 0{\rm{                   }}}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + n;{\rm{ }}n \ge 1}\end{array}} \right.\); \({u_{218}}\) nhận giá trị nào sau đây?

Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) thỏa mãn \({a_1} = 1\) và \({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1\), \(\forall n \ge 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({a_n} > {10^{100}}\).

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đều dương, số hạng đầu \({u_1} = 1\) và tổng của \(100\) số hạng đầu tiên bằng \(14950\). Tính giá trị của tổng

\(S = \dfrac{1}{{{u_2}\sqrt {{u_1}}  + {u_1}\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{{u_3}\sqrt {{u_2}}  + {u_2}\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}}\sqrt {{u_{2017}}}  + {u_{2017}}\sqrt {{u_{2018}}} }}\).

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\). Chọn kết luận đúng:

$3003$ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng $1$ cây, hàng thứ hai trồng $2$ cây, hàng thứ ba trồng $3$ cây, …cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(81{\rm{m}}\). Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng