Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) thỏa mãn \({a_1} = 1\) và \({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1\), \(\forall n \ge 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({a_n} > {10^{100}}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
\({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {a_n} - \dfrac{1}{9} = 10\left( {{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{9}} \right)\,\,(1)\).
Đặt \( {b_n} = {a_n} - \dfrac{1}{9} \Rightarrow {b_1} = {a_1} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\). Từ \((1) \Rightarrow {b_n} = 10{b_{n - 1}},\forall n \ge 2\)
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội là $q = 10$. Nên \({b_n} = {b_1}.{q^{n - 1}} = \dfrac{8}{9}{.10^{n - 1}}\).
Do đó ${a_n} = {b_n} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}{10^{n - 1}} + \dfrac{1}{9},\forall n = 1,2,...$.
Ta có \({a_n} > {10^{100}} \Leftrightarrow \dfrac{8}{9}{10^{n - 1}} + \dfrac{1}{9} > {10^{100}}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({a_n} > {10^{100}}\) là \(n = 102\).
Hướng dẫn giải:
Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({a_n}\) và thay vào điều kiện \({a_n} > {10^{100}}\) tìm \(n\)
