Câu hỏi:
2 năm trước
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đều dương, số hạng đầu \({u_1} = 1\) và tổng của \(100\) số hạng đầu tiên bằng \(14950\). Tính giá trị của tổng
\(S = \dfrac{1}{{{u_2}\sqrt {{u_1}} + {u_1}\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{{u_3}\sqrt {{u_2}} + {u_2}\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}}\sqrt {{u_{2017}}} + {u_{2017}}\sqrt {{u_{2018}}} }}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
\({S_{100}} = 100{u_1} + \dfrac{{100.99}}{2}d \Leftrightarrow 100 + 4950d = 14950 \Leftrightarrow d = 3\).
Do đó \({u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 6052\).
Ta có: \(\dfrac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}} + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} .\left( {\sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k + 1}}} } \right)}} = \dfrac{1}{d}.\dfrac{{\sqrt {{u_{k + 1}}} - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right)\).
Do đó:
\(S = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }}} \right) + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_3}} }}} \right) + ... + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2017}}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm công sai \(d\) và số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy.
- Thay các số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) vào tổng \(S\) và tính \(S\)
