Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$:${u_1} = {5^3}$,${u_{n + 1}} = u_n^2$,$k \in {\mathbb{N}^*}$ thỏa mãn ${u_1}.{u_2}...{u_k} = {5^{765}}$. Giá trị của $k$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có : \({u_2} = {5^{3.2}},{u_3} = {5^{3.2.2}} = {5^{{{3.2}^{2 - 1}}}},{u_4} = {5^{{{3.2}^{3 - 1}}}},...\)
Nên đặt ${u_n} = {5^{{v_n}}}$, với ${v_n} = {3.2^{n - 1}}$,$n \in {\mathbb{N}^*}$.
${v_1} + {v_2} + ... + {v_k} = 3.\dfrac{{{2^k} - 1}}{{2 - 1}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)$.
${u_1}.{u_2}...{u_k} = {5^{{v_1} + {v_2} + ... + {v_k}}}$.
Suy ra $3\left({{2^k} - 1} \right) = 765 \Leftrightarrow {2^k} - 1 = 255$$ \Leftrightarrow {2^k} = 256$ $ \Leftrightarrow k = 8$.
Hướng dẫn giải:
- Đặt ${u_n} = {5^{{v_n}}}$, với ${v_n} = {3.2^{n - 1}}$,$n \in {\mathbb{N}^*}$.
- Tính \({v_1} + ... + {v_k}\) và sử dụng điều kiện ${u_1}.{u_2}...{u_k} = {5^{765}}$ tìm \(k\)
