Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \dfrac{1}{5}\) và \({u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{5n}}{u_n}\), \(\forall n \ge 1\). Tìm tất cả giá trị \(n\) để \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{u_k}}}{k} < \dfrac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}}} \).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \({u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{5n}}{u_n} \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{{{u_n}}}{n}\).
Đặt \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}\), \(\forall n \ge 1\). Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhận có công bội \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({v_1} = \dfrac{1}{5}\).
Ta có \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{u_k}}}{k} = \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} = {v_1}\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \dfrac{1}{5}}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{5^n}}}} = {T_n}\).
Do \({v_n} > 0\), \(\forall n \ge 1\) nên \(\left( {{T_n}} \right)\) là dãy tăng. Suy ra \({T_n} < \dfrac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}} = {T_{2018}} \Leftrightarrow n < 2018\).
Hướng dẫn giải:
Đặt \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}\) tính tổng \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{u_k}}}{k}} \) rồi thay vào điều kiện bài cho tìm \(n\)
