Bài tập ôn tập chương 4

Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{1}{4} = f\left( 4 \right)$

Do đó hàm số liên tục tại điểm $x = 4$ hay A đúng và B, C, D sai.

Gọi $m$ là số tự nhiên thỏa: $m + 1 > \left| a \right|$. Khi đó với mọi $n > m + 1$.

Cố định $m$ ta có:

$0 < \left| {\dfrac{{{a^n}}}{{n!}}} \right| = \left| {\dfrac{a}{1}.\dfrac{a}{2}...\dfrac{a}{m}} \right|.\left| {\dfrac{a}{{m + 1}}...\dfrac{a}{n}} \right| < \dfrac{{{{\left| a \right|}^m}}}{{m!}}.{\left( {\dfrac{{\left| a \right|}}{{m + 1}}} \right)^{n - m}}$

Mà $\lim {\left( {\dfrac{{\left| a \right|}}{{m + 1}}} \right)^{n - m}} = 0$.

Từ đó suy ra: $\lim \dfrac{{{a^n}}}{{n!}} = 0$.

Dễ thấy khẳng định $\left( I \right)$ sai, khẳng định $\left( {II} \right)$ đúng.

Hàm số: $f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}}$ liên tục trên khoảng $\left( { - 3;3} \right)$, liên tục phải tại $x=-3$ và liên tục trái tại $x=3$.

Nên $f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}}$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos x}}$$= 1$ hay $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại $x = 0$.

Với $x > 2$ ta có hàm số liên tục.

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và liên tục tại $x = 2$.

Hàm số liên tục trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ khi và chỉ khi $g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2$

TH 1: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$

TH 2:$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 > 0\\{x_1} = m - \sqrt {\Delta '}  > 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2 > 0\\m > 2\\\Delta ' < {(m - 2)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < 6\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6$

Nên $\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6$ (*) thì $g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2$

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \dfrac{3}{{6 - m}}$

Hàm số liên tục tại $x = 2$ $\Leftrightarrow \dfrac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa (*))

$\lim \dfrac{{2 - {5^{n - 2}}}}{{{3^n} + {{2.5}^n}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{{5^n}}} - \dfrac{1}{{25}}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 2.}} = \dfrac{{0 - \dfrac{1}{{25}}}}{{0 + 2}} =  - \dfrac{1}{{50}}$.

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1}  - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right)$$= \lim n\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}  - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } \right) =  - \infty$

Vì $\lim n =  + \infty ;  \lim \left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}  - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } \right) = 1 - \sqrt 3  < 0$.

Ta có: $K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right)$

Mà: $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)$$= \lim \dfrac{{{n^2} - 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}}} \right)}^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}$$= \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}} + 1}}$$= \dfrac{1}{3}$

$\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right)$$= \lim \dfrac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}}$$= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} }+2} = \dfrac{1}{4}$

Do đó: $K = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{5}{{12}}$.

Ta có: $K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right)$

Mà: $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)$$= \lim \dfrac{{{n^2} - 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}}} \right)}^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}$$= \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}} + 1}}$$= \dfrac{1}{3}$

$\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1}  - 2n} \right)$$= \lim \dfrac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1}  + 2n}}$$= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} }+2} = \dfrac{1}{4}$

Do đó: $K = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{5}{{12}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{x - 2}}{{{x^3}}}} \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 2} \right) =  - 2 < 0$

Khi $x \to {0^ - } \Rightarrow x < 0 \Rightarrow {x^3} < 0$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{x - 2}}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 1}} =  + \infty$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1 > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = 0;\,{x^2} - 1 > 0$.

Ta có: $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{{ax}}{2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\dfrac{{\sin \dfrac{{ax}}{2}}}{{\dfrac{{ax}}{2}}}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$.

$B = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sin \dfrac{{5x}}{2}\sin \dfrac{x}{2}}}{{ - 2x\cos \dfrac{{7x}}{2}\sin \dfrac{x}{2}}}$$=  - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{5}{2}.\dfrac{{\sin \dfrac{{5x}}{2}}}{{\dfrac{{5x}}{2}}}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos \dfrac{{7x}}{2}}} =  - \dfrac{5}{2}$

Hàm số liên tục tại $x = 2$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1$.

Vậy ${m^2} - 2 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt 3 \\m =  - \sqrt 3 \end{array} \right.$.

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{2}$

Hàm số không xác định tại $x = 1.$

Nên hàm số gián đoạn tại $x = 1.$

Hàm số liên tục tại $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{3}}$, $f\left( 3 \right) = b + \sqrt 3$.

Vậy: $b + \sqrt 3  = \sqrt {\dfrac{1}{3}}  \Leftrightarrow b =  - \sqrt 3  + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt 3 }}$.

Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {2x + 1}  - 1}}{{x(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x(x + 1)\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)}} = 1$

Vậy ta chọn $m=f(0) = 1$.

Ta có: $f( - 1) = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {2x + 3} \right) = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{x + \sqrt {x + 2} }}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{(x + 1)(x - \sqrt {x + 2} )}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{x - \sqrt {x + 2} }} = \dfrac{3}{2}$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x)$

Vậy hàm số không liên tục tại ${x_0} =  - 1$.

$\left( I \right)$ sai vì hàm số không liên tục tại các điểm $x \le  - 1$  nên nó không liên tục với mọi $x \ne 1$

Ta có $\left( {II} \right)$ đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Ta có $\left( {III} \right)$ đúng vì $f\left( x \right) = \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{x}{\rm{    }}{\rm{, khi }}x \ge 0\\ - \dfrac{x}{x}{\rm{ }}{\rm{, khi }}x < 0\end{array} \right.$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right) = \dfrac{{\left| x \right|}}{x}$liên tục tại $x = 1$.

TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.

Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {0;9} \right),\left( {9; + \infty } \right)$

Hàm số liên tục tại $x = 9$ vì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \dfrac{1}{3}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3} = f\left( 9 \right)$

Do đó ta chỉ cần xét tại $x = 0$

Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = m$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}$$= \dfrac{1}{6}$.

Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = m$$\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6}$.