Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} {\rm{ }}{\rm {, }} 0 < x < 9\\m {\rm{ }}{\rm{, }}x = 0\\\dfrac{3} {x}{\rm{ }}{\rm{, }} x \ge 9\end{array} \right.$. Tìm $m$ để $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ là.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.
Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( {0;9} \right),\left( {9; + \infty } \right)\)
Hàm số liên tục tại \(x = 9\) vì:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \dfrac{1}{3}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3} = f\left( 9 \right)$
Do đó ta chỉ cần xét tại \(x = 0\)
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = m$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}$$ = \dfrac{1}{6}$.
Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = m$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6}$.
Hướng dẫn giải:
- Nhận xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng \(\left( {0;9} \right),\left( {9; + \infty } \right)\).
- Hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) và hàm số liên tục tại \(x = 9\).
