Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4}  + 3  \,\,\, khi \,\,\,   x \ge 2\\\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2 } } \,\,\, khi \,\,\, x < 2\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Với \(x > 2\) ta có hàm số liên tục.

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\).

Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) khi và chỉ khi \(g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2\)

TH 1: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\)

TH 2:\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 > 0\\{x_1} = m - \sqrt {\Delta '}  > 2\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2 > 0\\m > 2\\\Delta ' < {(m - 2)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < 6\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6\)

Nên \(\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6\) (*) thì \(g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2\)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \dfrac{3}{{6 - m}}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \) \(\Leftrightarrow \dfrac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*))