Câu hỏi:
2 năm trước
Giá trị của \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\)
Mà: \(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\)\( = \lim \dfrac{{{n^2} - 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}}} \right)}^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\)\( = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}} + 1}}\)\( = \dfrac{1}{3}\)
\(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\)\( = \lim \dfrac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}}\)\( = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} }+2} = \dfrac{1}{4}\)
Do đó: \(K = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} = - \dfrac{5}{{12}}\).
Hướng dẫn giải:
- Tách \(5n\) thành \(6n - n\) rồi nhóm tương ứng các số hạng trong biểu thức cần tính giới hạn.
- Nhân chia từng biểu thức với biểu thức liên hợp của chúng và tính từng giới hạn suy ra kết quả.
