Bài tập ôn tập chương 4

Với $x > 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.$\left( 1 \right)$

Với $0 < x < 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}}$ liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$. $\left( 2 \right)$

Với $x < 0$ ta có $f\left( x \right) = x\sin x$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$. $\left( 3 \right)$

Với $x = 1$ ta có $f\left( 1 \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1 = f\left( 1 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$.

Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x.\sin x} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin x}}{x} = 0$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$. $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Với $x > 0$ ta có $f(x) = \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}$ nên hàm số liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Với $x < 0$ ta có $f(x) = 2{x^2} + 3m + 1$ nên hàm số liên tục trên $( - \infty ;0)$.

Do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 0$

Ta có: $f(0) = 3m + 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1$

Do đó hàm số liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{6}$

Vậy $m =  - \dfrac{1}{6}$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Từ nội dụng định lý “Nếu $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$” ta thấy chỉ có khẳng định $I$ đúng.

Cách 1:$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 2.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1}}{{2{{\left( { - 1} \right)}^5} + 1}} =  - 2$.

Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}$ + CACL + $x =  - 1 + {10^{ - 9}}$ và so đáp án.

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: ${\left. {\lim \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}} \right|_{x \to  - 1 + {{10}^{ - 9}}}}$ và so đáp án.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 1$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 2a + 1 = 1 + \sqrt 2  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)$ $\Rightarrow a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$