Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}{\rm{ }} { \rm{ , }} x \ge 1\\\dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}}{\rm{ }} { \rm{ , }} 0 \le x < 1\\x\sin x { \rm{ }}{\rm{, }} x < 0\end{array} \right.$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Với $x > 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.$\left( 1 \right)$
Với $0 < x < 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}}$ liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$. $\left( 2 \right)$
Với $x < 0$ ta có $f\left( x \right) = x\sin x$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$. $\left( 3 \right)$
Với $x = 1$ ta có $f\left( 1 \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 1$
Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1 = f\left( 1 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x.\sin x} \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin x}}{x} = 0$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$. $\left( 4 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} \,\,\, khi \,\,\, x > 0\\2{x^2} + 3m + 1 \,\,\, khi \,\,\, x \le 0\end{array} \right.\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Với \(x > 0\) ta có \(f(x) = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\) nên hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Với \(x < 0\) ta có \(f(x) = 2{x^2} + 3m + 1\) nên hàm số liên tục trên \(( - \infty ;0)\).
Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = 0\)
Ta có: \(f(0) = 3m + 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{6}\)
Vậy \(m = - \dfrac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
$(I)$ $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm.
$(II)$ $f\left( x \right)$ không liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) \ge 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ vô nghiệm.
Từ nội dụng định lý “Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\)” ta thấy chỉ có khẳng định \(I\) đúng.
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}\) là:
Cách 1:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 2.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1}}{{2{{\left( { - 1} \right)}^5} + 1}} = - 2\).
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}\) + CACL + \(x = - 1 + {10^{ - 9}}\) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: ${\left. {\lim \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}} \right|_{x \to - 1 + {{10}^{ - 9}}}}$ và so đáp án.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,x \ge 2\\x - 1\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,x < 2\end{array} \right.\). Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\):
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 1\).
Tìm $a$ để hàm số sau có giới hạn tại $x = 0$: $ f(x) = \left\{ \begin{array}{l}5a{x^2} + 3x + 2a + 1\,\,\, khi \,\,\, x \ge 0\\1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2 } \,\,\, khi \,\,\, x < 0\end{array} \right .$
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 2a + 1 = 1 + \sqrt 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) \) \(\Rightarrow a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
