Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} \,\,\, khi \,\,\, x > 0\\2{x^2} + 3m + 1 \,\,\, khi \,\,\, x \le 0\end{array} \right.\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Với \(x > 0\) ta có \(f(x) = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\) nên hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Với \(x < 0\) ta có \(f(x) = 2{x^2} + 3m + 1\) nên hàm số liên tục trên \(( - \infty ;0)\).
Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = 0\)
Ta có: \(f(0) = 3m + 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{6}\)
Vậy \(m = - \dfrac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải:
- Nhận xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
- Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\) và kết luận.
