Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}{\rm{        }} { \rm{ , }} x \ge 1\\\dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}}{\rm{   }} { \rm{ , }} 0 \le x < 1\\x\sin x { \rm{ }}{\rm{, }} x < 0\end{array} \right.$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Với $x > 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.$\left( 1 \right)$

Với $0 < x < 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}}$ liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$. $\left( 2 \right)$

Với $x < 0$ ta có $f\left( x \right) = x\sin x$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$. $\left( 3 \right)$

Với $x = 1$ ta có $f\left( 1 \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1 = f\left( 1 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$.

Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x.\sin x} \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin x}}{x} = 0$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$. $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.