Câu hỏi:
2 năm trước
Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1.\)
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} = \dfrac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).f\left( 5 \right)...f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).f\left( 6 \right)...f\left( {2n} \right)}}.\) Tính \(\lim n\sqrt {{u_n}} .\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Xét \(g\left( n \right) = \dfrac{{f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( {2n} \right)}} \Rightarrow g\left( n \right) = \dfrac{{{{\left( {4{n^2} - 2n + 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)}^2} + 1}}\).
\(g\left( n \right) = \dfrac{{{{\left( {4{n^2} + 1} \right)}^2} - 4n\left( {4{n^2} + 1} \right) + \left( {4{n^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {4{n^2} + 1} \right)}^2} + 4n\left( {4{n^2} + 1} \right) + \left( {4{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{4{n^2} + 1 - 4n + 1}}{{4{n^2} + 1 + 4n + 1}} = \dfrac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\)
$ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{2}{{10}}.\dfrac{{10}}{{26}}.\dfrac{{26}}{{50}}....\dfrac{{{{\left( {2n - 3} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}.\dfrac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{2}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}$
\( \Rightarrow \lim n\sqrt {{u_n}} = \lim \sqrt {\dfrac{{2{n^2}}}{{4{n^2} + 4n + 2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Hướng dẫn giải:
Thu gọn tìm số hạng tổng quát \({u_n}\), thay vào biểu thức cần tính giới hạn và tính \(\lim \)
