Giới hạn của hàm số

Câu 21 Trắc nghiệm

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} - x + 1} \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} - x + 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}.\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)\end{array}\)

Bước 2:

\( =  + \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3} =  + \infty \).

Câu 22 Trắc nghiệm

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 4{x^5} + 2x + 1} \right)\) bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 4{x^5} + 2x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^5}\left( { - 4 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}} + \dfrac{1}{{{x^5}}}} \right)\).

Bước 2:

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^5} =  - \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 4 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}} + \dfrac{1}{{{x^5}}}} \right) =  - 4 < 0\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^5}\left( { - 4 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^4}}} + \dfrac{1}{{{x^5}}}} \right) =  + \infty \)

Câu 23 Trắc nghiệm

Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{5}{{x - 1}}\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{5}{{x - 1}} =  - \infty \)

Vì \(x - 1 < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\) khi \(x \to {1^ - }\).

Câu 24 Trắc nghiệm

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn \(L\) khi \(x \to {x_0}\) kí hiệu là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

Câu 25 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}}  \)

\(= \sqrt {\dfrac{{{{9.3}^2} - 3}}{{\left( {2.3 - 1} \right)\left( {{3^4} - 3} \right)}}}  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Câu 26 Trắc nghiệm

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\), khi đó:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

Câu 27 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 4} \right| = 1\)

Câu 28 Trắc nghiệm

Số \(L\) là giới hạn phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Số \(L\) là: + giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)

               + giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)

Câu 29 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - 1 < 0\end{array} \right..\)

Câu 30 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\). Chọn đáp án đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)

Câu 31 Trắc nghiệm

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 15}}{{x - 2}}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) =  - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\\x - 2 > 0,\forall x > 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 15}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Câu 32 Trắc nghiệm

Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\) nên đáp án A đúng.

Câu 34 Trắc nghiệm

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x} \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1} \right) =  + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty} \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1 = 2 > 0\end{array} \right..\)

Câu 35 Trắc nghiệm

Cho \(n = 2k + 1,k \in N\). Khi đó:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) lẻ.

Do đó, vì \(n = 2k + 1,k \in N\) là số nguyên dương lẻ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^n} =  - \infty \)

Câu 36 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{2x}}{{\sqrt {1 - x} }}}\,\,khi\,\,{x < 1}\\{\sqrt {3{x^2} + 1} }\,\,khi\,\,{x \ge 1}\end{array}} \right..\) Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {3{x^2} + 1}  = \sqrt {{{3.1}^2} + 1}  = 2\)

Câu 37 Trắc nghiệm

Khẳng định nào sau đây Sai?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \end{array}\)

Câu 38 Trắc nghiệm

Cho \(a,\,b\) là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2} - a - b\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Bước 1:

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx - 5\\ = (ax + a + b)(x - 1) + a + b - 5\end{array}\)

Bước 2:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {ax + a + b + \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}} \right) = 20\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.1 + b + a = 20\\a + b - 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 15}\\{6 =  - 10}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} - a - b = 320\end{array}\)

Câu 39 Tự luận

Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} = 12\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} \)

Đáp án: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} \)

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}} \)

Bước 1:

Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\).

Bước 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}.\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\\ = 12.\dfrac{1}{{2.\left( {2 + 1} \right)}} = 2\end{array}\)