Đạo hàm cấp cao

  •   
Câu 21 Trắc nghiệm

Hàm số y=(x2+1)3 có đạo hàm cấp ba là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Cách 1:

y=3(x2+1)2(x2+1)=6x(x2+1)2y=6(x2+1)2+6x.2(x2+1).2x=6(x2+1)2+24x2(x2+1)y=12(x2+1).2x+24.2x.(x2+1)+24x2.2x=24x(x2+1)+48x(x2+1)+48x3=24x(x2+1+2(x2+1)+2x2)=24x(5x2+3)

Cách 2:

 y=(x2+1)3=x6+3x4+3x2+1y=6x5+12x3+6xy=30x4+36x2+6y=120x3+72x=24x(5x2+3)

Câu 22 Trắc nghiệm

Hàm số y=2x+5 có đạo hàm cấp hai bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

y=(2x+5)22x+5=12x+5=(2x+5)12y=12.(2x+5)121.(2x+5)=12(2x+5)32.2=1(2x+5)32=1(2x+5)2x+5

Câu 23 Trắc nghiệm

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=tanx bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

y=1cos2xy=(cos2x)cos4x=2cosx(cosx)cos4x=2sinxcos3x

Câu 24 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=(x21)2. Tính giá trị biểu thức M=y(4)+2xy4y.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Hàm số viết lại: y=x42x2+1.

Ta có y=4x34x, y=12x24, y=24x, y(4)=24.

Khi đó M=y(4)+2xy4y=24+2x.24x4(12x24)=40.

Câu 25 Trắc nghiệm

Giả sử h(x)=5(x+1)3+4(x+1). Tập nghiệm của phương trình h(x)=0 là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

h(x)=15(x+1)2+4h(x)=30(x+1)=0x=1

Câu 26 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=sinx. Chọn câu sai ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

y=cosx=sin(x+π2) Đáp án A đúng.

y=sinx=sin(x+π) Đáp án B đúng.

y=cosx=sin(x+3π2) Đáp án C đúng.

Câu 27 Trắc nghiệm

Xét y=f(x)=cos(2xπ3). Phương trình f(4)(x)=8 có nghiệm x[0;π2] là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

f(x)=2sin(2xπ3)f(x)=4cos(2xπ3)f(x)=8sin(2xπ3)f(4)(x)=16cos(2xπ3)f(4)(x)=8cos(2xπ3)=12[2xπ3=2π3+k2π2xπ3=2π3+k2π[x=π2+kπx=π6+kπ(kZ)x[0;π2]x=π2

Câu 28 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=sin2x. Hãy chọn câu đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

y=2cos2x;y=4sin2x=4y4y+y=0

Câu 29 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=f(x)=1x. Xét hai mệnh đề:

(I): y=f(x)=2x3

(II): y=f(x)=6x4

Mệnh đề nào đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

y=1x2y=(x2)x4=2xx4=2x3y=2.(x3)x6=2.3x2x6=6x4

Câu 30 Trắc nghiệm

Với f(x)=sin3x+x2 thì f(π2) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

f(x)=3sin2x(sinx)+2x=3sin2xcosx+2xf(x)=3.(sin2x).cosx+3sin2x.(cosx)+2=6sinx(sinx)cosx3sin2x.sinx+2=6sinxcos2x3sin3x+2f(π2)=6sin(π2)cos2(π2)3sin3(π2)+2=3+2=5.

Câu 31 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=3x55x4+3x2. Giải bất phương trình y<0.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có y=15x420x3+3y=60x360x2.

Bất phương trình y<060x360x2<0x2(x1)<0{x<1x0.

Câu 32 Trắc nghiệm

Nếu f(x)=2sinxcos3x, thì f(x) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Đáp án A:

y=1cosxy=(cosx)cos2x=sinxcos2xy=cosx.cos2xsinx.2cosx(cosx)(cos2x)2=cos3x+2sin2xcosxcos4x=cos2x+2sin2xcos3x

Đáp án B:

y=1cosxy=(cosx)cos2x=sinxcos2xy=cosx.cos2xsinx.2cosx(cosx)cos4x=cos3x2sin2xcosxcos4x=cos2x+2sin2xcos4x

Đáp án C:

y=cotxy=1sin2xy=2sinx(sinx)sin4x=2sinxcosxsin4x=2cosxsin3x

Đáp án D:

y=tanxy=1cos2xy=2cosx(cosx)cos4x=2sinxcosxcos4x=2sinxcos3x

Câu 33 Trắc nghiệm

Cho hàm số f(x)=(ax+b)5 (với a,b là tham số). Tính f(10)(1) 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

f(x)=5a(ax+b)4f(x)=20a2(ax+b)3f(x)=60a3(ax+b)2f(4)(x)=120a4(ax+b)f(5)(x)=120a5f(6)(x)=0f(10)(x)=0xRf(10)(1)=0

Câu 34 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=cosx. Khi đó y(2018)(x) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

y(x)=sinxy(x)=cosxy(x)=sinxy(4)(x)=cosx=yy(5)(x)=sinx=yy(6)(x)=cosx=yy(7)(x)=sinx=y....

Ta có: 2018=504.4+2y(2018)(x)=y(x)=cosx

Câu 35 Trắc nghiệm

Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s=t32t2+4t+1 trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi t=2

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có :

a=v=(s)=ss=3t24t+4s=6t4=aa(2)=6.24=8(m/s2)

Câu 36 Trắc nghiệm

Đạo hàm cấp 4 của hàm số y=sin5x.sin3x là :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

y=sin5x.sin3x=12(cos8xcos2x)y=12(8sin8x+2sin2x)=4sin8xsin2xy=32cos8x2cos2xy=256sin8x+4sin2xy(4)=2048cos8x+8cos2x

Câu 37 Trắc nghiệm

Cho hàm số y=2xx2. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có :

y=(2xx2)22xx2=22x22xx2=1x2xx2y=2xx2(1x).1x2xx22xx2

= \dfrac{{ - \left( {2x - {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \dfrac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}

Thay vào {y^3}.y'' + 1 = {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 =  - 1 + 1 = 0

Câu 38 Trắc nghiệm

Đạo hàm cấp n của hàm số \dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0 là 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\\....\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\end{array}

Câu 39 Trắc nghiệm

Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} là :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\begin{array}{l}y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \dfrac{{2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{7}{{x - 3}} - \dfrac{5}{{x - 2}}\\ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\end{array}

Xét hàm số \dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0 ta có :

\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\\....\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} = \dfrac{{4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\\\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} = \dfrac{{4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\\ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\end{array}

Câu 40 Trắc nghiệm

Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 3{x^2} - 2021x + 2020

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

\begin{array}{l}y' = \left( {3{x^2} - 2021x + 2020} \right)'\\ = 3.2.x - 2021\\ = 6x - 2021\end{array}

Bước 2:

\Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = 6