Hàm số y=(x2+1)3 có đạo hàm cấp ba là:
Cách 1:
y′=3(x2+1)2(x2+1)′=6x(x2+1)2y″=6(x2+1)2+6x.2(x2+1).2x=6(x2+1)2+24x2(x2+1)y‴=12(x2+1).2x+24.2x.(x2+1)+24x2.2x=24x(x2+1)+48x(x2+1)+48x3=24x(x2+1+2(x2+1)+2x2)=24x(5x2+3)
Cách 2:
y=(x2+1)3=x6+3x4+3x2+1y′=6x5+12x3+6xy″=30x4+36x2+6y‴=120x3+72x=24x(5x2+3)
Hàm số y=√2x+5 có đạo hàm cấp hai bằng
y′=(2x+5)′2√2x+5=1√2x+5=(2x+5)−12y″=−12.(2x+5)−12−1.(2x+5)′=−12(2x+5)−32.2=−1(2x+5)32=−1(2x+5)√2x+5
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=tanx bằng:
y′=1cos2xy″=−(cos2x)′cos4x=−2cosx(cosx)′cos4x=2sinxcos3x
Cho hàm số y=(x2−1)2. Tính giá trị biểu thức M=y(4)+2xy‴−4y″.
Hàm số viết lại: y=x4−2x2+1.
Ta có y′=4x3−4x, y″=12x2−4, y‴=24x, y(4)=24.
Khi đó M=y(4)+2xy‴−4y″=24+2x.24x−4(12x2−4)=40.
Giả sử h(x)=5(x+1)3+4(x+1). Tập nghiệm của phương trình h″(x)=0 là:
h′(x)=15(x+1)2+4h″(x)=30(x+1)=0⇔x=−1
Cho hàm số y=sinx. Chọn câu sai ?
y′=cosx=sin(x+π2)⇒ Đáp án A đúng.
y″=−sinx=sin(x+π)⇒ Đáp án B đúng.
y‴=−cosx=sin(x+3π2)⇒ Đáp án C đúng.
Xét y=f(x)=cos(2x−π3). Phương trình f(4)(x)=−8 có nghiệm x∈[0;π2] là:
f′(x)=−2sin(2x−π3)f″(x)=−4cos(2x−π3)f‴(x)=8sin(2x−π3)f(4)(x)=16cos(2x−π3)f(4)(x)=−8⇔cos(2x−π3)=−12⇔[2x−π3=2π3+k2π2x−π3=−2π3+k2π⇔[x=π2+kπx=−π6+kπ(k∈Z)x∈[0;π2]⇒x=π2
Cho hàm số y=sin2x. Hãy chọn câu đúng?
y′=2cos2x;y″=−4sin2x=−4y⇔4y+y″=0
Cho hàm số y=f(x)=−1x. Xét hai mệnh đề:
(I): y″=f″(x)=2x3
(II): y‴=f‴(x)=−6x4
Mệnh đề nào đúng?
y′=1x2y″=−(x2)′x4=−2xx4=−2x3y‴=−2.−(x3)′x6=2.3x2x6=6x4
Với f(x)=sin3x+x2 thì f″(−π2) bằng:
f′(x)=3sin2x(sinx)′+2x=3sin2xcosx+2xf″(x)=3.(sin2x)′.cosx+3sin2x.(cosx)′+2=6sinx(sinx)′cosx−3sin2x.sinx+2=6sinxcos2x−3sin3x+2f″(−π2)=6sin(−π2)cos2(−π2)−3sin3(−π2)+2=3+2=5.
Cho hàm số y=3x5−5x4+3x−2. Giải bất phương trình y″<0.
Ta có y′=15x4−20x3+3⇒y″=60x3−60x2.
Bất phương trình y″<0⇔60x3−60x2<0⇔x2(x−1)<0⇔{x<1x≠0.
Nếu f″(x)=2sinxcos3x, thì f(x) bằng:
Đáp án A:
y=1cosxy′=−(cosx)′cos2x=sinxcos2xy″=cosx.cos2x−sinx.2cosx(cosx)′(cos2x)2=cos3x+2sin2xcosxcos4x=cos2x+2sin2xcos3x.
Đáp án B:
y=−1cosxy′=(cosx)′cos2x=−sinxcos2xy″=−cosx.cos2x−sinx.2cosx(cosx)′cos4x=−cos3x−2sin2xcosxcos4x=−cos2x+2sin2xcos4x
Đáp án C:
y=cotxy′=−1sin2xy′=2sinx(sinx)′sin4x=2sinxcosxsin4x=2cosxsin3x
Đáp án D:
y=tanxy′=1cos2xy″=−2cosx(cosx)′cos4x=2sinxcosxcos4x=2sinxcos3x
Cho hàm số f(x)=(ax+b)5 (với a,b là tham số). Tính f(10)(1)
f′(x)=5a(ax+b)4f″(x)=20a2(ax+b)3f‴(x)=60a3(ax+b)2f(4)(x)=120a4(ax+b)f(5)(x)=120a5f(6)(x)=0⇒f(10)(x)=0∀x∈R⇒f(10)(1)=0
Cho hàm số y=cosx. Khi đó y(2018)(x) bằng:
y′(x)=−sinxy″(x)=−cosxy‴(x)=sinxy(4)(x)=cosx=yy(5)(x)=−sinx=y′y(6)(x)=−cosx=y″y(7)(x)=sinx=y‴....
Ta có: 2018=504.4+2⇒y(2018)(x)=y″(x)=−cosx
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s=t3−2t2+4t+1 trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi t=2 là
Ta có :
a=v′=(s′)′=s″s′=3t2−4t+4s″=6t−4=aa(2)=6.2−4=8(m/s2)
Đạo hàm cấp 4 của hàm số y=sin5x.sin3x là :
y=sin5x.sin3x=−12(cos8x−cos2x)⇒y′=−12(−8sin8x+2sin2x)=4sin8x−sin2xy″=32cos8x−2cos2xy‴=−256sin8x+4sin2xy(4)=−2048cos8x+8cos2x
Cho hàm số y=√2x−x2. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Ta có :
y′=(2x−x2)′2√2x−x2=2−2x2√2x−x2=1−x√2x−x2y″=−√2x−x2−(1−x).1−x√2x−x22x−x2
= \dfrac{{ - \left( {2x - {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \dfrac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}
Thay vào {y^3}.y'' + 1 = {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = - 1 + 1 = 0
Đạo hàm cấp n của hàm số \dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0 là
\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\\....\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\end{array}
Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} là :
\begin{array}{l}y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \dfrac{{2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{7}{{x - 3}} - \dfrac{5}{{x - 2}}\\ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\end{array}
Xét hàm số \dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0 ta có :
\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\\....\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} = \dfrac{{4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\\\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} = \dfrac{{4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\\ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\end{array}
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 3{x^2} - 2021x + 2020 là
Bước 1:
\begin{array}{l}y' = \left( {3{x^2} - 2021x + 2020} \right)'\\ = 3.2.x - 2021\\ = 6x - 2021\end{array}
Bước 2:
\Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = 6