Số nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) với \(0 \le x \le 2\pi \) là

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nếu \(x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \) thì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} \le k \le \dfrac{{25}}{{24}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{23\pi }}{{12}}\).

 Nếu \(x =  - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) thì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le  - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{7}{{24}} \le k \le \dfrac{{31}}{{24}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{17\pi }}{{12}}\).

Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.