Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x}  + \sqrt {1 + \cos x}  = m\) có nghiệm khi và chỉ khi

TXĐ: \(\mathbb{R}\).

Đặt \(P = \sqrt {1 + \sin x}  + \sqrt {1 + \cos x} \), $P \ge 0$. Suy ra

\({P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Do đó \({P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \)\( = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\).

TH1: \( - \sqrt 2  \le t <  - 1\) thì:

\(\begin{array}{l}t + 1 < 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| =  - t - 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( { - t - 1} \right)\\ = 2 + t - \sqrt 2 t - \sqrt 2 \\ = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \end{array}\)

Mà \( - \sqrt 2  \le t <  - 1\) nên:

\(\begin{array}{l} - \sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right) \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t > \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\left( { - 1} \right)\\ \Rightarrow  - \sqrt 2  + 2 \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t >  - 1 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow  - \sqrt 2  + 2 + 2 - \sqrt 2  \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2  >  - 1 + \sqrt 2  + 2 - \sqrt 2 \\ \Rightarrow 4 - 2\sqrt 2  \ge {P^2} > 1\\ \Rightarrow 1 < {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

TH2: \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) thì:

\(\begin{array}{l}t + 1 \ge 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| = t + 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( {t + 1} \right)\\ = 2 + t + \sqrt 2 t + \sqrt 2 \\ = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \end{array}\)

Mà \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) nên:

\(\begin{array}{l} - 1\left( {1 + \sqrt 2 } \right) \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ \Rightarrow  - 1 - \sqrt 2  \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2  + 2\\ \Rightarrow  - 1 - \sqrt 2  + 2 + \sqrt 2  \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2  \le \sqrt 2  + 2 + 2 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow 1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \end{array}\)

Từ 2 TH trên ta được \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \).

Mà \(P \ge 0\) nên \(1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

Phương trình có nghiệm khi \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).