Phương trình $\sqrt {1 + \sin x}  + \sqrt {1 + \cos x}  = m$ có nghiệm khi và chỉ khi

TXĐ: $\mathbb{R}$.

Đặt $P = \sqrt {1 + \sin x}  + \sqrt {1 + \cos x}$, $P \ge 0$. Suy ra

${P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x}$.

Đặt $t = \sin x + \cos x$$= \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)$$\Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]$.

Khi đó ${t^2} = 1 + 2\sin x\cos x$$\Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$.

Do đó ${P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}}$$= 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|$.

TH1: $- \sqrt 2  \le t <  - 1$ thì:

$\begin{array}{l}t + 1 < 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| =  - t - 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( { - t - 1} \right)\\ = 2 + t - \sqrt 2 t - \sqrt 2 \\ = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \end{array}$

Mà $- \sqrt 2  \le t <  - 1$ nên:

$\begin{array}{l} - \sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right) \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t > \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\left( { - 1} \right)\\ \Rightarrow  - \sqrt 2  + 2 \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t >  - 1 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow  - \sqrt 2  + 2 + 2 - \sqrt 2  \ge \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2  >  - 1 + \sqrt 2  + 2 - \sqrt 2 \\ \Rightarrow 4 - 2\sqrt 2  \ge {P^2} > 1\\ \Rightarrow 1 < {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \end{array}$

TH2: $- 1 \le t \le \sqrt 2$ thì:

$\begin{array}{l}t + 1 \ge 0 \Rightarrow \left| {t + 1} \right| = t + 1\\ \Rightarrow {P^2} = 2 + t + \sqrt 2 \left( {t + 1} \right)\\ = 2 + t + \sqrt 2 t + \sqrt 2 \\ = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \end{array}$

Mà $- 1 \le t \le \sqrt 2$ nên:

$\begin{array}{l} - 1\left( {1 + \sqrt 2 } \right) \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ \Rightarrow  - 1 - \sqrt 2  \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t \le \sqrt 2  + 2\\ \Rightarrow  - 1 - \sqrt 2  + 2 + \sqrt 2  \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2  \le \sqrt 2  + 2 + 2 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow 1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \end{array}$

Từ 2 TH trên ta được $1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2$.

Mà $P \ge 0$ nên $1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 }$.

Phương trình có nghiệm khi $1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 }$.