Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x$ trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1;\) \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\) nên \(0 \le {\sin ^{2018}}x \le {\sin ^2}x;\) \(0 \le {\cos ^{2018}}x \le {\cos ^2}x\)
Do đó: \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) hay \(y \le 1\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\sin x = 0\) hoặc \(\cos x = 0\)
Lại có, áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n},\left( {a,b > 0} \right)\) ta có:
\({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^{1009}} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^{1009}}\) \( \ge 2.{\left( {\dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{1009}} = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}}\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \({\sin ^2}x = {\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(m = \dfrac{1}{{{2^{1008}}}},M = 1\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng các đánh giá \(0 \le {\sin ^2}x \le 1;\) \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\) và bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n},\left( {a,b > 0} \right)\) để tìm GTLN, GTNN của hàm số.
