Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)?

Ta có \(x \in \left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} < x + \dfrac{\pi }{4} < \pi \)\( \Rightarrow 0 < \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\)\( \Rightarrow 0 < \sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt[{}]{2}\).

Mặt khác \(\sqrt[{}]{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin x + \cos x\).

Đặt \(\sin x + \cos x = t\) với \(t \in \left( {0\,;\,\sqrt[{}]{2}} \right]\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x = {t^2}\) \( \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\).

Nhận thấy với mỗi giá trị của \(t\) trong \(\left( {0;1} \right]\) hoặc \(t = \sqrt 2 \) thì đều có một giá trị của \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\), nếu \(t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right)\) thì sẽ có \(2\) giá trị của \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\)

Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 1 + t - 2 = m \Leftrightarrow {t^2} + t - 3 = m\)\(\left( * \right)\).

Xét \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 3\) với \(t \in \left( {0\,;\,\sqrt[{}]{2}} \right]\) có đồ thị là parabol, hoành độ đỉnh \(t =  - \dfrac{1}{2} \notin \left( {0;\sqrt 2 } \right]\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình \(\left( * \right)\) có nhiều nhất một nghiệm \(t\).

Do đó để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực \(x\) thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\) thì $\left[ \begin{array}{l}t = \sqrt[{}]{2}\\0 < t \le 1\end{array} \right.$.

Với \(t = \sqrt[{}]{2}\) thay vào phương trình \(\left( * \right)\): \(2 + \sqrt[{}]{2} - 3 = m\)\( \Leftrightarrow m = \sqrt[{}]{2} - 1 \notin \mathbb{Z}\).

Với $0 < t \le 1$ ta có bảng biến thiên

Vậy \( - 3 < m \le  - 1\)\( \Rightarrow \) có \(2\) giá trị nguyên của \(m\) là \( - 2\) và \( - 1\).