Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình $\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0$?

Phương trình đã cho tương đương với $\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\quad \left(  *  \right)$.

Ta biết rằng hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$. Ta chỉ ra rằng các hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 6}}$ và $g\left( x \right) = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}$ nhận giá trị trong khoảng này.

Thật vậy, ta có $\left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right| \le \left| {\dfrac{x}{{2\sqrt {6{x^2}} }}} \right| = \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}$

và $0 < \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} = \dfrac{{80}}{{{{\left( {x + 16} \right)}^2} + 76}} \le \dfrac{{80}}{{76}} < \dfrac{\pi }{2}$

Từ các đánh giá trên, $\left(  *  \right)$ xảy ra khi và chỉ khi

$\dfrac{x}{{{x^2} + 6}} = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}$ $\Leftrightarrow {x^3} - 48{x^2} + 332x - 480 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\\x = 40\end{array} \right.$.

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2 + 6 + 40 = 48$.