Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\)
\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x + 1} \right) \ge 0\\{\sin ^3}x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \le 0\end{array}\)
Do đó \( - {\sin ^2}x \le {\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\)
Tương tự \( - {\cos ^2}x \le {\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\)
\( \Rightarrow - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x \le y \le 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = - 1 - {\sin ^2}x \ge - 1 - 1 = - 2\\2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 + {\sin ^2}x \le 1 + 1 = 2\end{array} \right.\) nên \( - 2 \le y \le 2\)
Vậy \(M = 2\) đạt được khi \(\sin x = 1,\cos x = 0\)
\(m = - 2\) đạt được khi \(\sin x = - 1,\cos x = 0\)
Do đó \({M^2} + {m^2} = 8\)
Hướng dẫn giải:
Đánh giá \({\sin ^3}x,{\cos ^3}x\) so với \({\sin ^2}x,{\cos ^2}x\) rồi suy ra \(M,m\)
